Que $\left{Yi\right}{i \in \mathcal{I}}$, donde $\mathcal{I}$ es infinito, ser una familia de conjuntos algebraicos de $k^n$, donde $k$ es un campo algebraico cerrado. Entonces $Y_i = \mathcal{Z}(T_i)$, es decir, cada $Y_i$ es los ceros de un subconjunto $T_i$ $A=k[x_1,\cdots,xn]$. Entonces ¿cuál es el problema con decir que $\cup{i \in \mathcal{I}} Yi = \mathcal{Z}\left(\cap{i \in \mathcal{I}} T_i \right)$?
Respuesta
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En primer lugar, incluso para un finito sindicatos, usted no puede apenas se cruzan los subconjuntos de ecuaciones. Por ejemplo, el punto de $0$ es el ajuste a cero de $X$ y el punto de $1$ es el ajuste a cero de $X-1$. A continuación,$\{X\} \cap \{X - 1\} = \emptyset$, por lo que la intersección de estos dos conjuntos de ecuaciones que define a todos los de $\mathbb{C}$, no solo la unión de los dos puntos.
Para solucionar este problema, utilice el ideal $I(Y)$ de todos los polinomios que se desvanecen en el conjunto algebraico $Y$. A continuación,$\{ 0, 1 \} = \mathcal{Z}((X) \cap (X-1)) = \mathcal{Z}((X (X-1)))$.
Aún así, los dos conjuntos de $\cup_{i \in I} Y_i$ $\mathcal{Z}(\cap_{i \in I} I(Y_i))$ no son necesariamente los mismos al $I$ es infinito. Supongamos $Y_n$ es el único punto de $n \in \mathbb{N} \subseteq \mathbb{C}$, por lo que el $I(Y_n) = (X - n)$. A continuación, $\cap_{n = 1}^{\infty} I(Y_n) = (0)$ (por qué?), por lo $\mathcal{Z}(\cap_{n=1}^{\infty} I(Y_n)) = \mathbb{C}$, no $\cup_{n=1}^{\infty} Y_n = \mathbb{N}$.
De hecho, $\mathbb{N}$ no es un subconjunto algebraico de $\mathbb{C}$, así que no hay ningún ideal $I$ tal que $\mathcal{Z}(I) = \mathbb{N}$. Usted puede comprobar esto mediante el uso de su conocimiento de lo que todos los ideales de a$\mathbb{C}[X]$.
