¿Dónde está el fallo de mi prueba?

Question

Posible prueba de la conjetura de que siempre existe un primo entre $n^2$ y $(n+1)^2$ ?

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Supongamos que la declaración no es válida. Por lo tanto, para algunos $n \in \mathbb{N}$ no existe un primo que esté comprendido entre $n^2$ y $(n+1)^2$ exclusiva. Deja que $\pi (x)$ denotan la cantidad de números primos menores o iguales que $x$ tenemos que si $\pi ((n + 1)^2) - \pi (n^2) = k$ existe $k$ primos que oscilan entre $n^2$ y $(n + 1)^2$ exclusiva. Por lo tanto, asumiendo que la conjetura es falsa, consideramos $k = 0$ lo que nos da lo siguiente: $$\begin{align} \pi ((n + 1)^2) - \pi (n^2) &= 0 \\ \Leftrightarrow \pi ((n+1)^2) &= \pi (n^2). \end{align}$$ Es bien sabido que $\pi (x) \approx \dfrac{x}{\ln x}$ por orden de sustitución, $$\frac{n^2}{\ln n^2} \approx \frac{(n + 1)^2}{\ln (n + 1)^2}.$$ Para algunos $m$ se puede ver que $\ln x^2 = m \Rightarrow e^m = x^2 \Rightarrow \sqrt {e^m} = e^{m/2} = x \Rightarrow \ln x = m/2$ . Por lo tanto, concluimos que $\ln x^2 = 2\ln x$ . $$\begin{align} \therefore \frac{n^2}{2\ln n} &\approx \frac{(n + 1)^2}{2\ln (n + 1)} \\ \\ \Leftrightarrow \bigg(\frac n2\bigg)\bigg(\frac{n}{\ln n}\bigg) &\approx \bigg(\frac{n + 1}{2}\bigg)\bigg(\frac{n + 1}{\ln (n + 1)}\bigg) \\ \\ \Leftrightarrow \bigg(\frac n2\bigg)\pi (n) &\approx \bigg(\frac{n + 1}{2}\bigg)\pi (n + 1) \\ \\ \Leftrightarrow \frac{n}{n + 1} &\approx \frac{\pi (n + 1)}{\pi (n)}. \end{align}$$

Ahora, tomando el recíproco de la ecuación, se deduce entonces que, $$\frac{n + 1}{n } = 1 + \frac 1n \approx \frac{\pi (n)}{\pi (n + 1)}.$$ Sin embargo, aunque cierto, $$\square \ \dfrac{n + 1}{n} > \dfrac{\pi (n)}{\pi (n + 1)}.$$

Por definición de la función $\pi$ tenemos que $\pi (n) = \pi (n + 1)$ sólo si $n$ y $n + 1$ no son primos y $\pi (n) < \pi (n + 1)$ sólo si $n + 1$ es primo, por lo tanto $\pi (n) \leqslant \pi (n + 1)$ . Llegamos así a la siguiente conclusión: $$\begin{align} \frac{\pi (n)}{\pi (n + 1)} &\leqslant 1 \\ \\ \Leftrightarrow \frac{n + 1}{n} &> \frac{\pi (n)}{\pi (n + 1)} \\ \\ \Leftrightarrow \pi ((n + 1)^2) &> \pi (n^2) \\ \\ \Leftrightarrow \pi ((n + 1)^2) - \pi (n^2) &\geqslant 1 \\ \\ \therefore k &= 1. \end{align}$$ Por tanto, la conjetura es cierta. $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\bigcirc$

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A mí me parece correcto, pero se trata de una conjetura famosa porque aparentemente es muy difícil de demostrar y, si es cierta, nos dirá más cosas sobre cómo se distribuyen los números primos entre los enteros positivos. Por lo tanto, debo de tener algún fallo en mi demostración, porque era demasiado fácil (sólo una página ). Seguramente no puede ser el caso.

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted escribe $1+\frac{1}{n} \approx \frac{\pi(n)}{\pi(n+1)}$ lo que equivale a $$ \lim_{n\to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{\pi(n)}{\pi(n+1)}}=1, $$ que es verdadero porque tanto el numerador como el denominador tienen límite $1$ .

Answer 2

Parece que hay un par de fallos fundamentales en su intento de prueba. Defectos que muestran una profunda incomprensión de cómo $\pi(x)$ se refiere a $\mathrm{li}(x) = \frac{x}{\ln x}$ .

$\pi(x)$ es la función de recuento de primos y tienes la definición correcta. Sin embargo, parece que no entiendes lo que $\pi(x) \sim \mathrm{li}(x)$ significa. Por cierto, el uso del símbolo "aproximadamente igual a" " $\approx$ " aquí es incorrecto.

$\pi(x) \sim \mathrm{li}(x)$ es la declaración formal que significa que $\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\mathrm{li}(x)} = 1$ y esto se llama el teorema del número primo. Se ha demostrado que es cierto. Pero hay que tener en cuenta que esto es sólo hablando de lo que ocurre en el límite. Es correcto concluir que a medida que se toman números primos cada vez más grandes, se encontrará que la relación de $\frac{\pi(x)}{\mathrm{li}(x)}$ se acerca cada vez más a uno.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que existe una relación complicada entre $\pi(x)$ y $\mathrm{li}(x)$ para valores finitos de $x$ . Por ejemplo, para valores de $x$ que parecen "útilmente pequeñas" y que podríamos utilizar en las matemáticas cotidianas, $\pi(x) < \mathrm{li}(x)$ . Pero sabemos que $\pi(x) > \mathrm{li}(x)$ infinitamente, y que esto sólo empieza a ocurrir con valores muy, muy grandes de (x) - véase El número de Skewes . Así que el teorema de los números primos no nos permite realmente sacar conclusiones sólidas relativas a rangos finitos de primos, sólo sobre el comportamiento asintótico de los primos muy grandes. Y no nos ayuda a establecer qué ocurre cuando se considera una afirmación general sobre todo primos.

Otro paso en tu "prueba" que muestra la misma falta de comprensión sobre los límites (juego de palabras no intencionado) del teorema de los números primos es cuando afirmas que $\frac{n+1}{n} \sim \frac{\pi(n)}{\pi(n+1)}$ para ser una contradicción. De hecho, como ambas partes tienen un límite como $n \to \infty$ de $1$ La afirmación es perfectamente cierta (y no es una contradicción).

Espero que entiendas por qué ahora no puedes utilizar (al menos directamente) el teorema de los números primos para este tipo de demostración.