Invariantes de $V^{\otimes N}$ .

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita, y $G = SL(V)$ sea el grupo de transformaciones lineales de $V$ con determinante $1$ .

(a) Demuestre que $V^{\otimes N}$ contiene un valor no nulo $G$ -si y sólo si $N$ es un múltiplo de $\dim V$ .

(b) Si $N = m\dim V$ donde $m$ es un número entero positivo, calcule la dimensión del espacio de invariantes $\left(V^{\otimes N}\right)^G$ .

Answer 1

Dejemos que $d = \dim V$ . Por la dualidad Schur-Weyl, como representación de $S_N \times GL(V)$ , $V^{\otimes N}$ se descompone como $$\bigoplus_{\lambda\text{ partition of }N} V_\lambda \otimes L_\lambda,$$ donde $V_\lambda$ es el módulo de Specht y $L_\lambda$ es una representación de $GL(V)$ . Como representación de $GL(V)$ lo anterior se reduce a $$\bigoplus_{\lambda\text{ partition of }N} \dim(V_\lambda)L_\lambda.\tag*{(1)}$$ Sabemos que $L_\lambda = 0$ si $\lambda$ tiene más de $d$ filas. En caso contrario, la dimensión de $L_\lambda$ viene dada por $$\dim L_\lambda = \prod_{1 \le i < j \le d} {{\lambda_i - \lambda_j + j - i}\over{j-i}}.$$ Esto es igual a $1$ sólo cuando $\lambda_1 = \dots = \lambda_d$ es decir $\lambda_i = N/d$ para todos $i$ . Si $v \in V^{\otimes N}$ es un valor no nulo $G$ -invariante, entonces $\text{span}(v) \in \text{dim}(V_\lambda)L_\lambda$ es la descomposición $(1)$ con $\lambda$ definido como arriba. Esto se debe a que $GL(V)v = \mathbb{C}SL(V)v = \text{span}(v)$ Así que $\text{span}(v)$ es una subrepresentación unidimensional de $V^{\otimes N}$ en $GL(V)$ . por lo que, por el lema de Schur, debe estar contenida en $\dim(V_\lambda)L_\lambda$ .

En particular, si $N$ no es un múltiplo de $d$ entonces $V$ no tiene invariantes. A partir de ahora, supongamos que $N = dm$ . El carácter de $L_\lambda$ es $$\chi_{L_\lambda}(g) = {{\det\left[x_i^{\lambda_j + d - j}\right]_{i, j}}\over{\det\left[x_i^{d-j}\right]_{i, j}}} = (x_1\dots x_d)^m,$$ donde $x_i$ son los valores propios de $g$ Cuando $g \in SL(V)$ lo anterior es igual a $1$ . Por lo tanto, $SL(V)$ actúa trivialmente sobre $L_\lambda$ .

Por $(1)$ la dimensión del espacio de invariantes es $\dim V_\lambda$ donde $\lambda = (\underbrace{m,\dots, m}_d)$ . Por la fórmula de la longitud del gancho $($ véase Notas de Pavel Etingof sobre la teoría de la representación $)$ , $$\begin{align*} \dim(V_{\lambda})=\frac{n!}{\prod_{i\leq \lambda_j} h(i,j)} =\begin{cases} \frac{(md)!}{(m+d-1)(m+d-2)^2\dots m^d (m-1)^d\dots (d+1)^dd^d (d-1)^{d-1}\dots 1^1} & \text{if }d\leq m\\ \frac{(md)!}{(m+d-1)(m+d-2)^2\dots d^m (d-1)^m\dots (m+1)^mm^m (m-1)^{m-1}\dots 1^1} & \text{if }d> m \end{cases} \end{align*}. $$ En particular, existe un invariante no nulo.