¿Lagrangiano invariante bajo multiplicación izquierda y derecha por matrices unitarias, slick manera de ver?

Question

¿Hay una manera hábil para ver que la lagrangiana $$\mathcal{L} = \text{Tr}(\partial^\mu G\partial_\mu G^{-1}),$$where $G $ is an $N \times N$ unitario matriz, es invariante bajo multiplicación izquierda y derecha por matrices unitarias?

Answer 1

¿Es esto lo que estás buscando?

$$ \begin{split} \text{Tr}(\partial^\mu(A G)\partial_\mu (AG)^{-1}) &= \text{Tr}(A\partial^\mu G\partial_\mu G^{-1}A^{-1})\\ &= \text{Tr}(\partial_\mu G^{-1}A^{-1}A\partial^\mu G) \\ &= \text{Tr}(\partial_\mu G^{-1}\partial^\mu G) \\ &= \text{Tr}(\partial^\mu G \partial_\mu G^{-1}) \end {split} $$