Demostrando los hechos acerca de los grupos con representación en la teoría.

Question

Yo estaba inscrito en una teoría de la representación (de grupos finitos) curso en el otoño y a lo largo de la clase, nos hemos centrado en las propiedades de las representaciones y los paradigmas construidos alrededor de ellos. Todo el tiempo, me sentí un poco defraudado. No en el sentido de que el material no era hermoso, porque lo fue, pero en el sentido de que quería probar cosas acerca de los grupos de alguna manera el uso de representaciones (no hechos acerca de las representaciones de sí mismos como limitaciones en la dimensión de la subrepresentations y tal).

Mi pregunta es la siguiente:

¿Cuáles son algunos ejemplos clásicos de propiedades que específicamente demostrar sobre un grupo de teoría de la representación que podríamos no ser capaces de hacer de otra manera?

Hemos tenido un par de problemas en la que íbamos a probar los hechos acerca de muy instancias específicas de los grupos con base en las declaraciones, pero todos ellos podrían ser hecho con el grupo teórico de las nociones de todos modos, estoy buscando tal vez una más fundamentales del paradigma subyacente de la teoría de la representación.

Quizás el subtexto de mi post es este:

¿Por qué estudiar la teoría de representaciones de grupos finitos?

Yo vagamente comprender por qué lo hacemos localmente compacto grupos, ya que pueden ser mucho más difícil de manejar, pero para grupos finitos, parece hermoso de las matemáticas, pero no necesarias para la comprensión de los grupos.

Answer 1

A la dirección indicada subtexto de su post: muchas personas, incluido yo mismo, tomar la posición de que los grupos son importantes porque actúan sobre las cosas. Una representación es un grupo de acción en un espacio vectorial (por lineal de operadores). Y cuando usted tiene un grupo de acción, incluso si no está en un espacio vectorial, a menudo hay una estrecha relación de representación al acecho cerca.

Por ejemplo, si $G$ está actuando sobre un conjunto finito $S$, entonces hay un inducida por la representación en $\mathbb{F}^S$ para cualquier campo $\mathbb{F}$. Más generalmente, si $G$ está actuando en un espacio de $X$, entonces hay un inducida por la representación de $G$ sobre el álgebra $\mathcal{O}(X)$ de las funciones en $X$, lo que se entiende por "función" en esta situación (por ejemplo, quizás $X$ es un espacio topológico en el que $G$ hechos por homeomorphisms, y $\mathcal{O}(X)$ es el álgebra de la real continua de las funciones con valores en $X$).

Para profundizar sobre este último punto: supongamos $X$ es un conjunto en el que $G$ actos. Para cualquier conjunto a $Y$, hay un inducida por la acción en el set $Y^X$ de los mapas de$X$$Y$:$g\in G$$f:X\to Y$, el mapa de $g\cdot f$ está definido por $$(g\cdot f)(x) = f(g^{-1}x).$$

Si equipamos a $X$ con alguna estructura adicional, como una topología, podemos insistir en que la acción de la $G$ conservar esta estructura. Esto garantiza que la acción de la $G$ en los mapas se llevará a la estructura de la preservación de los mapas de la estructura de la preservación de los mapas. Como un ejemplo, si $X$ $Y$ son espacios topológicos y $G$ actúa en $X$ por homeomorphisms, entonces la acción de la $G$ $Y^X$ envía continua de mapas continuos de los mapas. En particular, teniendo en $Y=\mathbb{R}$, tenemos una acción de $G$ sobre el álgebra de valor real funciones continuas.

Answer 2

Dos ejemplos de puramente grupo de teoría de teoremas probar usando teoría de la representación son:

1. Burnside del teoremaque establece que un grupo finito de no tener más de 2 distintas primer divisores deben ser resueltos. (Mucho más tarde, una prueba sin la teoría de la representación fue encontrado en la década de 1970.)

2. Teorema acerca de Frobenius grupos: Supongamos que un grupo finito $G$ contiene un subgrupo $H$ tal que para cada a $x \in G - H$, la intersección $H \cap x^{-1}Hx = \{1\}$. Entonces el conjunto de elementos de $G$ no en cualquier conjugado de $H$, junto con la identidad, forman un subgrupo normal de $G$. No hay pruebas de que no utiliza teoría de la representación es conocida.

Answer 3

Sólo un par de sin comentarios para agregar a lo que se ha dicho más arriba...

1. La clasificación de los finitos simples grupos dependían en gran medida modular de la teoría de la representación, por lo que hay que. Muchos de los sporadics sólo se describen razonablemente a través de sus representaciones.

2. Grupos simétricos tienen perfectamente descriptible representaciones que corresponden a una combinatoria constructo denominado Jóvenes de Cuadros. También se puede determinar ciertas cosas acerca de las clases conjugacy en grupos simétricos uso muy básico de la teoría de la representación, por ejemplo racional conjugacy clases tienen una base, el grupo de teóricos de la descripción.

3. De manera más general, hay una gran cantidad de conceptos en la teoría de grupos finitos que generalizar a la teoría de la representación y a menudo son más fáciles de entender que hay. La transferencia, por ejemplo, puede ser comprendido como el determinante de un inducida por la representación de más de $\mathbb{F}_2[G]$.

4. Esto está relacionado con Brad respuesta: en particular, que a menudo están preocupados acerca de los grupos que actúan en otros grupos, en particular los subgrupos de algunos supergrupo. Si el grupo actuó en es abelian, podemos utilizar la teoría de la representación sobre campos finitos para describir lo que está pasando. Esto es particularmente importante en el estudio de la solución de los grupos, para que el mínimo normal subgrupos son primarias abelian.

5. Mucho computacional teoría de grupos se realiza mediante representaciones, por lo que esta es una manera en la teoría de la representación es útil para su propio bien. No quiero estar haciendo cálculos de Cayley del teorema de estilo en un grupo con un gran número de elementos.