$g: S^1 \rightarrow S^1$ homotópico al mapa identidad, $i$, debe ser sobreyectivo.

Question

$g: S^1 \rightarrow S^1$ homotópica a la aplicación identidad, $i$, debe ser sobreyectiva.

¡Hola a todos! Había estado trabajando en este problema en preparación para mi examen preliminar y había encontrado algunas dificultades. Sospechaba que el problema surgiría en sus homomorfismos inducidos que resultan en grupos diferentes. Imaginando el caso donde $g(S^1)$ es simplemente el círculo menos un punto, tendríamos que $g_{*}(\pi_{1}(S^1)) = \{0\}$, pero $i_{*}(\pi_{1}(S^1)) = \mathbb{Z}$.

Así que había estado intentando probar que, dado un sendero $f: [0,1] \rightarrow S^1$, tenemos $g_{*}([f]) = [g \circ f] = [i \circ f] = i_{*}([f])$. Para construir la homotopía del sendero de $g \circ f$ a $i \circ f = f$, iba a usar el mapa $F': [0,1] \times [0,1] \rightarrow S^1$ definido como $F(f(s),t)$ para alguna homotopía $F$ de $g$ e $i$. El problema es que no hay restricciones sobre cómo se comporta $F'$ en los conjuntos $\{0\} \times (0,1)$ y $\{1\} \times (0,1)$, al menos que yo pueda ver.

Me preguntaba si alguien puede ayudarme a orientarme en la dirección correcta (que puede que ni siquiera sea la que he elegido).

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos que $g:S^1\to S^1$ no es sobreyectiva, por lo que no alcanza un punto $p\in S^1$. Entonces, $g$ tiene imagen en $S^1\smallsetminus p$, y se factoriza a través de $\mathbb R^1\simeq S^1\smallsetminus p$, que es contractible. Se sigue que $g$ es nulohomotópica, y en particular no puede ser homotópica a la identidad, porque $S^1$ no es contractible.