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$g: S^1 \rightarrow S^1$ homotópico al mapa identidad, $i$, debe ser sobreyectivo.

$g: S^1 \rightarrow S^1$ homotópica a la aplicación identidad, $i$, debe ser sobreyectiva.

¡Hola a todos! Había estado trabajando en este problema en preparación para mi examen preliminar y había encontrado algunas dificultades. Sospechaba que el problema surgiría en sus homomorfismos inducidos que resultan en grupos diferentes. Imaginando el caso donde $g(S^1)$ es simplemente el círculo menos un punto, tendríamos que $g_{*}(\pi_{1}(S^1)) = \{0\}$, pero $i_{*}(\pi_{1}(S^1)) = \mathbb{Z}$.

Así que había estado intentando probar que, dado un sendero $f: [0,1] \rightarrow S^1$, tenemos $g_{*}([f]) = [g \circ f] = [i \circ f] = i_{*}([f])$. Para construir la homotopía del sendero de $g \circ f$ a $i \circ f = f$, iba a usar el mapa $F': [0,1] \times [0,1] \rightarrow S^1$ definido como $F(f(s),t)$ para alguna homotopía $F$ de $g$ e $i$. El problema es que no hay restricciones sobre cómo se comporta $F'$ en los conjuntos $\{0\} \times (0,1)$ y $\{1\} \times (0,1)$, al menos que yo pueda ver.

Me preguntaba si alguien puede ayudarme a orientarme en la dirección correcta (que puede que ni siquiera sea la que he elegido).

¡Gracias de antemano!

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Como sugeriste, un mapa $g$ que no sea sobreyectivo se descompone a través del espacio contractible $\mathbb{R}$.

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Pedro Tamaroff Puntos 73748

Supongamos que $g:S^1\to S^1$ no es sobreyectiva, por lo que no alcanza un punto $p\in S^1$. Entonces, $g$ tiene imagen en $S^1\smallsetminus p$, y se factoriza a través de $\mathbb R^1\simeq S^1\smallsetminus p$, que es contractible. Se sigue que $g$ es nulohomotópica, y en particular no puede ser homotópica a la identidad, porque $S^1$ no es contractible.

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Correcto. Has demostrado que la identidad es homotópica a un mapa constante, que es exactamente la definición de contractibilidad. (Estaba mirando mapas inducidos en $\pi_1$ pero me estaba atormentando los problemas de puntos base.)

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@GrumpyParsnip Debes haber estado haciendo cosas en tu cabeza, ¡porque no puedo encontrar un comentario ni una publicación! =D

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Tuve 2/3 de una respuesta cuando publicaste la tuya. No me molesté en terminar ya que este argumento es muy directo.

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