Cómo comprobar la convergencia uniforme de $f_n(x) = n(1 + x(e^{1/n} - 1))^n - ne^x$ ?

Question

Definir la secuencia $f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ por $$f_n(x) = n(1 + x(e^{1/n} - 1))^n - ne^x$$ ¿Cómo puedo demostrar que $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \sup_{x\in [0,1]} f_n(x)$$ ¿existe? He intentado mostrar la convergencia uniforme de $f_n$ . Obtuve que la secuencia converge puntualmente a $f(x) = \frac{1}{2}e^x x(1-x)$ pero no pude mostrar una convergencia uniforme. He intentado utilizar el teorema de Dini para demostrar la convergencia uniforme, pero no lo he conseguido.

Answer 1

Creo que para aplicar el teorema de Dini es necesario que para un determinado $x$ la secuencia $\{f_n(x)\}_{n\geq 0}$ tienen que ser monótonas pero no necesariamente en la misma dirección para todos los $x$ .

Tenga en cuenta que (Maple me ayudó mucho aquí): $$\frac{f_n(x)}{f(x)}=1-\frac{P(x)}{12n}+\frac{Q(x)}{24n^2}+R_n(x).$$ donde $P(x)=3x^2+5x-4$ , $Q(x)=x^4+6x^3+x^2-8x+2$ y $|R_n(x)|\leq C/n^3$ para alguna constante positiva $C$ y para todos $x\in [0,1].$

Por lo tanto, existe $n_0$ tal que para $n>n_0$ la secuencia $\{f_n(x)\}_{n\geq 0}$ es decreciente para $x\in [0,x_0)$ y aumenta para $x\in [x_0,1]$ donde $x_0=(-5+\sqrt{73})/6$ es la raíz de $P$ en $[0,1]$ (en $x_0$ aumenta porque $Q(x_0)<0$ ).

Answer 2

Aquí está mi intento de mostrar la convergencia uniforme, pero me siento incómodo con el uso de la notación big-oh, así que agradecería comentarios. En cualquier caso, creo que algo como esto debe ser el enfoque correcto, y espero que ayude.

Primero demostraré que el $f_n$ convergen puntualmente a $f(x)=\frac{1}{2}e^xx(1-x)$ como tú dices. El análisis proporciona estimaciones que ayudan a establecer la uniformidad.

Escriba a $f_n$ como $$f_n(x)=ne^x\left(\frac{\big(1+x(e^{1/n}-1)\big)^n}{e^x}-1\right)$$ Defina $$g(x):=\big(1+x(e^{1/n}-1)\big)^n=\exp\left[n\ln\big(1+x(e^{1/n}-1)\big)\right]$$ para que $$f_n(x)=ne^x\left(\frac{g(x)}{e^x}-1\right)$$ Debemos analizar el término entre paréntesis. Utilizando $$\ln(1+x)=x-x^2/2+O(x^3)$$ cuando $-1<x\leq1$ y observando que para $x\in[0,1]$ , $|x(e^{1/n}-1)|=x(e^{1/n}-1)<1$ para $n>1$ vemos $g$ se puede escribir $$g(x)=\exp\left[n\big(x(e^{1/n}-1)-x^2(e^{1/n}-1)^2/2+O(x^3(e^{1/n}-1)^3)\big)\right]$$ Ahora utilizamos $$e^{1/n}=1+1/n+1/2n^2+O(1/n^3)$$ escribir

\begin{align} g(x)&=\exp\left[n\left(x/n+x/2n^2+O(x/n^3)-x^2/2n^2+O(x^2/n^3)+O(x^3/n^3)\right)\right]\\ &= \exp\left[x+x/2n-x^2/2n+O(x/n^2)\right] \end{align}

Por lo tanto $$g(x)/e^x=\exp(x/2n-x^2/2n+O(x/n^2))=1+x/2n-x^2/2n+O(x/n^2)$$ así que $$g(x)/e^x-1=x/2n-x^2/2n+O(x/n^2)$$ Si juntamos todo esto, tenemos $$f_n(x)=ne^x\big(x/2n-x^2/2n+O(x/n^2)\big)=e^x\big(x/2-x^2/2+O(x/n)\big)\to \frac{1}{2}e^xx(1-x)$$ como $n\to\infty$ .

Consideremos ahora $$d(n)=\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)-f(x)\right|$$ Para que la convergencia sea uniforme debemos demostrar $d\to0$ como $n\to\infty$ . Pero el cálculo anterior muestra que hay alguna constante $C$ para que $|f_n(x)-f(x)|$ está limitada por encima por $Cxe^x/n$ que el $[0,1]$ es como máximo $Ce/n$ que a su vez tiende a cero cuando $n\to\infty$ . El resultado se deduce por el teorema del apretón.