¿Puede expresarse la integral de movimiento browniano en función del tiempo y el movimiento browniano?

Question

Que $W_t$ ser estándar movimiento browniano y definir $$ X_t: = \int_0^t W_s ~ \textrm{d}s. $$ las distribuciones marginales de $X_t$ son fáciles de escribir (ver aquí), pero no parece posible expresar $X_t$ como una función $f(t,W_t)$ del tiempo y el % de proceso $W_t$sí mismo.

¿Es de hecho imposible? ¿Y podría alguien me referir a una prueba?

Answer 1

Intuitiva argumento: por simetría debemos tener $P(X_1 \ge 0 \mid W_1 = 0) = \frac{1}{2}$. Sin embargo, $P(f(1, W_1) \ge 0 \mid W_1 = 0)$ es $0$ o $1$ dependiendo de si $f(1,0) \ge 0$.

Por supuesto, esto no es realmente una prueba porque me acondicionado en un evento de probabilidad de 0. Así que vamos a intentar utilizar la misma idea en una prueba real.

Considerar la probabilidad condicional de a $Y = P(X_1 \ge 0 \mid W_1)$.

Supongamos $X_1 = f(1, W_1)$ donde $f$ es Borel; luego tenemos a $Y = 1_B(W_1)$.s., donde $B = \{x : f(1,x) \ge 0\}$. En particular, el $$P(Y \in \{0,1\}) = 1. \tag{*}$$

Pero desde $X_1, W_1$ son lineales funcionales de la Gaussiana proceso de $\{W_t\}$, que en conjunto son Gaussiano con media 0. De curso $W_1$ tiene una varianza 1, y como se muestra en el enlace, $X_1$ varianza $1/3$. También, usando el teorema de Fubini nos han $$\begin{align*} E[W_1 X_1] &= E\left[ W_1 \int_0^1 W_t\,dt\right] \\ &= E\left[\int_0^1 W_1 W_t\,dt\right] \\ &= \int_0^1 E[W_1 W_t]\,dt \\ &= \int_0^1 t\,dt = \frac{1}{2}.\end{align*}$$ Así que si establecemos $Z = W_1 - 2 X_1$, $Z$ es una variable aleatoria normal con media 0 y varianza $1/3$ que es independiente de la $W_1$. Podemos escribir el evento$\{X_1 \ge 0\}$$\{Z \le W_1\}$. Así que por la independencia tenemos $$Y = P(X_1 \ge 0 \mid W_1) = P(Z \le W_1 \mid W_1) = \Phi(\sqrt{3}W_1) \quad \text{a.s.}$$ donde $\Phi$ es el estándar normal de la cdf. En particular, $0 < Y < 1$ casi seguramente, contradiciendo (*).