Integral indefinida de $\sin(x)$ sin utilizar la derivada de $\cos(x)$

Question

Puedo demostrar que

$$\int\sin(x)dx=-\cos(x)+C$$

utilizando $\cos'(x)=-\sin(x)$ y $\sin'(x)=\cos(x)$ . ¿Hay otras pruebas que no impliquen esto (al menos, no explícitamente)?

Answer 1

Basta con utilizar la serie de Taylor e integrar término a término, se reconoce la nueva serie de Taylor como $-\cos x$

Answer 2

Como se señala en el comentario, el uso de Sustitución de Weierstrass ,

$\displaystyle \tan\frac x2=t\implies \sin x=\frac{2t}{1+t^2}$ y $\displaystyle x=2\arctan t\implies dx=\frac2{1+t^2}dt$

$$\int \sin xdx=\int \frac{2t}{(1+t^2)^2}dt=\int \frac{du}{(1+u)^2}\text{ (putting }t^2=u)$$

$$=-\frac1{1+u}=-\frac1{1+t^2}=-2\cos^2\frac x2+C=C-1-\cos x$$

Answer 3

Por supuesto. Puedes integrar la forma exponencial $$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} ,$$ y luego devolver ese resultado a su integral deseada.

Tenga en cuenta que $$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}.$$

Answer 4

Es importante notar que la definición de integral indefinida. Sea $D \subset R$ y $f:D \mapsto R$ sea una función. Entonces la integral indefinida de $f$ se define como una función $F: D\mapsto R$ tal que $F$ es diferenciable en $D$ y $F'=f$

Así que no hay manera de demostrar la integral indefinida sin usar su definición. Pero, por supuesto, es posible escribir la función $cos(x)$ de diferentes maneras, es decir, cos $x$ = $\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}$ o de otras formas y demostrar que las expresiones son iguales a $cos(x)$

Answer 5

Dejemos que $x=\sec^{-1}u$ entonces tenemos $$\sin(\sec^{-1}u)=\frac{\sqrt{u^2-1}}{|u|},dx=\frac{du}{|u|\sqrt{u^2-1}}$$ por lo tanto $$\int\sin x\,dx=\int\frac{du}{u^2}=\frac{-1}{u}=-\cos x.$$ Tenga en cuenta que $$\sec'x=\lim_{h\to0}\frac{\sec(x+h)-\sec x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sin\frac{h}{2}\sin\frac{2x+h}{2}}{\frac{h}{2}\cos x\cos(x+h)}=\tan x\sec x.$$