ecuación diferencial con parámetro

Question

Tengo problema con un ejemplo:

Dada la ecuación de $\frac{dx}{dt} = -x + x^7$ con condición inicial $x(0) = \lambda$ donde $x=x(t, \lambda)$. Encontrar $\frac{ \partial x(t, \lambda)}{\partial \lambda} \mid _{\lambda = 0}$.

Lo que tengo ahora es:

Podemos escribir: $x(t, \lambda) = \int_{0}^{t} -x + x^7 ds + C(t,\lambda)$

pero desde $x(0) = \lambda$, tenemos $\lambda = x(0, \lambda) = \int_{0}^{0} -x + x^7 ds + C(0,\lambda) = C(0, \lambda)$, por lo que $x(t, \lambda) = \lambda + \int_{0}^{t} -x + x^7 ds$

Ahora podemos aplicar el $\frac{ \partial }{\partial \lambda}$ a ambos lados de conseguir: $\frac{ \partial x(t, \lambda)}{\partial \lambda} = 1 + \int_{0}^{t}{ \frac{ \partial}{\partial \lambda}(-x(t, \lambda)) + \frac{ \partial}{\partial \lambda}(x(t, \lambda)^7) }ds$. Pero ahora no tengo idea de cómo puedo calcular el valor de la integral.

¿Alguien tiene idea de cómo se mueven más con esa solución ? O tal vez es el camino equivocado y no existe una manera más fácil para resolver ese problema?

Gracias de antemano por toda la ayuda

Answer 1

Que $y(t,\lambda) = \dfrac{\partial}{\partial \lambda} x(t,\lambda)$. Diferenciando la ecuación diferencial $ \dfrac{\partial x}{\partial t} = - x + x^7$ con respecto a los $\lambda$, obtenemos $\dfrac{\partial y}{\partial t} = - y + 7 x^6 y$, $y(0,\lambda) = 1$. Para resolver este problema de valor inicial homogénea lineal $y$, conseguimos $$y(t,\lambda)) = \exp\left(\int_0^s (7 x(s,\lambda)^6 - 1)\ ds\right)$ $ ahora enchufe en $\lambda=0$.