Cómo evaluar esta integral: $\oint dx$ ?

Question

Estoy tratando de entender las formas diferenciales. Ahora traté de evaluar

$$ \oint_{S^1}dx$$

Debería conseguir cualquier cosa que no sea cero pero no sé cómo hacerlo (aunque conozco el resultado).

Si $S^1$ en la integral es uno de los círculos que rodea al toro,

¿cómo hago para calcular la integral?

Tengo claro que la función que estoy integrando es $f(x,y)=1 $ . Ahora no tengo claro si puedo elegir cualquier parametrización de $S^1$ y luego se integran, como por ejemplo

$$ \int_0^{2\pi} 1 \cdot |r'(t)| dt = 2 \pi$$

donde $r = (\cos t, \sin t)$ .

La razón por la que creo que esto podría ser erróneo es que no tiene en cuenta ninguna información sobre el espacio en el que $S^1$ mentiras. Pero la forma del espacio debería determinar si un determinado $1$ - la forma es exacta o no.

Edita

En respuesta al comentario de jflipp:

Si uso $d \theta = {x dy - y dx \over x^2 + y^2}$ entonces puedo hacerlo: Veo que la integral es $2\pi$ . Ahora quiero usar cualquiera de los dos $dx$ o $dy$ el diferencial $1$ -formas en la expresión $d \theta = {x dy - y dx \over x^2 + y^2}$ .

Answer 1

Escribes que la función $f$ está en un formulario $f(x,y)=1,$ así que asumo que $S^1$ yace en un avión y $x$ en $dx$ significa primera coordenada en un avión. Para calcular tu integral, tienes que especificar la orientación de $S^1$ . Por lo tanto, adicionalmente asumo que la orientación del círculo es estándar, es decir, en sentido contrario a las agujas del reloj. Ahora toma una orientación arbitraria preservando la parametrización $r:[0,2\pi]\rightarrow S^1.$ Deje que $r(t)=(\cos t,\sin t).$ La integral por DEFINICIÓN (ver Spivak - Cálculo en Múltiples) es igual $$\oint_{S^1}dx=\int_0^{2\pi} r^*(dx)=\int_0^{2\pi} d(r^*(x))=\int_0^{2\pi} d(x\circ r)=\int_0^{2\pi} d(\cos t)=\int_0^{2\pi} -\sin t dt=0.$$ También puedes usar el teorema de Stoke. Desde $S^1$ tiene un límite vacío, tenemos que $$\oint_{S^1}dx=\oint_\emptyset x=0.$$

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Edita

Pero si estás dispuesto a integrar cualquier cosa de la forma $d(something),$ aún se le permite usar el teorema de Stoke.

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Edita $2$

Creo que sé la respuesta si queremos calcular la integral $$\oint_{S^1}d\theta,$$ donde $d\theta$ es sólo un SÍMBOLO (no es una forma exacta) para $\frac{xdx-ydy}{x^2+y^2}.$ Ahora tenemos que elegir el círculo que nos interesa.

Que sea un círculo pegado a lo largo de la A orientado como en la foto. Entonces la parametrización viene dada por $r:[0,1]\rightarrow S^1$ con la fórmula $r(t)=(t,1).$ Con eso, la integral es igual $$\oint_{S^1}\frac{xdx-ydy}{x^2+y^2}=\int_0^1r^*(\frac{xdx-ydy}{x^2+y^2})=\int_0^1(\frac{x\circ r}{x^2 \circ r +y^2 \circ r})d(x\circ r)-0=\int_0^1\frac{t}{t^2+1}dt=\log(2)/2$$

Answer 2

$dx$ es exacto por definición, siempre que $x$ es una función globalmente bien definida en su espacio.
Así que si he entendido bien tu pregunta, estás preguntando sobre un toro abstracto que se considera el espacio de cociente de $R^2$ en la que la función $x$ no está definido globalmente.
En este caso, necesitarás calcular tu integral como $\oint_{S^1}dx=x(2\pi)-x(0)=2\pi$