Ampliar una función holomorphic definida en un toro

Question

Supongamos que tenemos una función de holomorphic $$ f : \frac{\mathbb{C}}{\Lambda} \mapsto \frac{\mathbb{C}}{\Lambda} $$ donde $\Lambda$ es una celosía. Siempre es posible encontrar otra función $\psi : \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}$ que se extienden $f$, es decir, tales que $$ \forall x \in \mathbb{C}, \, \overline{\psi(x)} = f(\overline x) $$ o, al menos, que se extienden $f$ en una vecindad de cada punto.

Conocí a este problema cuando estaba leyendo "puntos racionales en curvas elípticas" de Silverman & Tate. Para dar el contexto, tenemos una curva elíptica $C(\mathbb C)$ y un endomorfismo de $C(\mathbb C)$, y porque sabemos que existe un isomorfismo $ \frac{\mathbb C}{\Lambda} \rightarrow C(\mathbb C)$ por un entramado $\Lambda$ (con Weierstrass $\wp$ función), finalmente encontramos un "holomorphic" (yo no sé realmente lo que holomorphic en $\frac{\mathbb C}{\Lambda}$ media) la función $f$, y se utiliza una función como $\psi$ y el análisis complejo para descubrir que $$ f : z \in \frac{\mathbb C}{\Lambda} \mapsto cz $$ with $c \in \mathbb C$. (Sí, lo que explica el nombre de "complejo de multiplicación")

Usted puede encontrar un artículo que explique esta parte del libro en : CMpaper

Answer 1

Respondido por user8268:

Si $p:X→Y$ es un espacio de cobertura, $Z$ es $1$-conectado y $g:Z→Y$ continua mapa entonces hay un % de elevación $\tilde{g}:Z→X$(es decir, $p∘\tilde{g}=f$). En tu caso #% el %#% y $X→Y=\Bbb{C}→\Bbb{C}/Λ$ es la composición de $g:Z→Y$ $\Bbb{C}→\Bbb{C}/Λ$. (todas las funciones son entonces fácilmente vistas ser holomorfa)