¿Existen aplicaciones de la geometría no conmutativa a la teoría de los números?

Question

El matrimonio entre la geometría algebraica y la teoría de los números fue celebrado en el siglo XX por la escuela de Grothendieck. Como consecuencia, la teoría de los números se ha transformado por completo.

Por otro lado, la escuela de Alain Connes desarrolló una teoría para incluir el estudio de los anillos no conmutativos en la geometría algebraica.

Por lo que tengo entendido, el árbol se ramificó en estas dos direcciones separadas, con la teoría de los números quedándose principalmente en el lado conmutativo de las cosas, por la razón natural de que los anillos que uno encuentra en la teoría de los números son principalmente conmutativos.

Me gustaría saber si el desarrollo de la geometría no conmutativa ha tenido un impacto en la teoría de números. ¿Ha dado lugar a avances concretos? ¿Ha influido en la forma de pensar de algunos temas? ¿Debería yo, como aspirante a teórico de los números, preocuparme por la geometría no conmutativa?

Answer 1

No sé nada de geometría no conmutativa, pero me había preguntado esto mismo hace un tiempo y encontré la siguiente respuesta. Forma parte de un informe del Taller BIRS sobre Geometría no conmutativa celebrado en la Estación Internacional de Investigación de Banff en abril de 2003. El informe completo está disponible en www.pims.math.ca/birs .

Aplicaciones actuales y conexiones de la geometría no conmutativa con teoría de los números pueden dividirse en cuatro categorías.

1. El trabajo de Bost y Connes, donde construyen un sistema dinámico no conmutativo sistema $(B,\sigma_t)$ con función de partición la zeta de Riemann función $\zeta(\beta)$ , donde $\beta$ es la temperatura inversa. Muestran que en el polo $\beta= 1$ hay una ruptura de simetría espontánea. El grupo de simetría de este sistema es el grupo de idèles que es isomorfo al grupo de Galois $\operatorname{Gal}(\mathbf Q^{ab}/\mathbf Q)$ . Este da una interpretación natural de la función zeta como la función de partición de un sistema mecánico estadístico cuántico. En particular, la función isomorfismo de la teoría de campos de clase aparece de forma muy natural en este contexto. Este enfoque se ha extendido a la función zeta de Dedekind de un campo numérico arbitrario por Cohen, Harari-Leichtnam y Arledge-Raeburn-Laca. Todos estos resultados se refieren a extensiones abelianas de campos numéricos y su generalización a extensiones no abelianas es no es posible.
2. El trabajo de Connes sobre la hipótesis de Riemann. Se comienza por producir una fórmula de traza conjetural que refina la fórmula de la traza de Arthur-Selberg. El principal resultado de esta teoría afirma que esta fórmula de la traza es válida si y sólo si la hipótesis de Riemann es satisfecha por todos los $L$ -con Grossencharakter en el campo numérico $k$ .
3. Los trabajos de Connes y Moscovici sobre la simetrías de las álgebras modulares de Hecke $A(\Gamma)$ donde demuestran que esta álgebra admite una acción natural del álgebra de Hopf transversal $\mathcal H_1$ . Aquí $\Gamma$ es un subgrupo de congruencia de $\text{SL}(2,\mathbf Z)$ y el álgebra $A(\Gamma)$ es el producto cruzado del álgebra de formas modulares de nivel $\Gamma$ por el acción de los operadores de Hecke. La acción de los generadores $X, Y$ y $\delta_n$ de $\mathcal H_1$ corresponde al operador de Ramanujan, al peso o operador de número, y a la acción de ciertos cociclos de grupo sobre $GL^+(2,\mathbf Q)$ respectivamente. Lo que es muy sorprendente es que el mismo álgebra de Hopf $\mathcal H_1$ también actúa de forma natural sobre el espacio transversal (no conmutativo) de foliaciones de codimensión uno.
4. Relaciones con la geometría algebraica aritmética y la teoría de Arakelov. Este actualmente por Consani, Deninger, Manin, Marcolli y otros. otros.

Answer 2

Algunos de los principales responsables de la geometría no conmutativa parecían estar trabajando en un momento dado en la campo con un elemento . No puedo asegurar los detalles de dicha historia, si hay alguna conexión más allá de esta coincidencia, etc.. Pero es algo.

Fundamentalmente, la aplicación de la geometría algebraica a la teoría de números consiste en resolver ecuaciones diofánticas. Son ecuaciones ``comutativas'', por defecto. ¿Se puede imaginar que una ecuación diofantina no conmutativa tenga sentido tan fácilmente? Así que si la geometría no conmutativa se aplica a la teoría de los números, esta forma de pensar simplista e ingenua puede no aplicarse. Tal vez cosas como el campo con un elemento son cosas más profundas, con algunas esperanzas en el futuro lejano de fusionar la TN y la NCG.

Parece que también hay algunos vínculos potenciales de otras maneras; pero mi entendimiento es un poco confuso y no estoy lo suficientemente seguro de esas cosas como para ponerlo por escrito definitivamente aquí. Tal vez otros mejores expertos se manifiesten.