Yo creo que se puede interpretar la noción de ⊨ en un tradicional filosófica manera que sólo lo que significa que la verdad de las premisas garantiza la verdad de la conclusión. En otras palabras, {a, ..., s}⊨z, sólo significa que el valor de verdad de {a, ..., z} obtiene conserva cuando inferir a la z. Si ⊨z, entonces la verdad z tiene para la teoría de la independencia.
Esto puede parecer un insignificante cambio en el significado. Sin embargo, si un sistema lógico tiene solidez, las reglas de inferencia de preservar la verdad con respecto a la semántica del sistema, y sus axiomas son tautologías, entonces la fórmula que se pueden derivar de los axiomas no sólo calificar como un teorema, sino que también califica como válida. La comprobación de todas las interpretaciones del modelo-en teoría, a través de las tablas de verdad pueden obtener problemática en algún punto, incluso en la lógica con sólo dos valores de verdad. En varios valores y de valor infinito de la lógica, de la comprobación de todas las interpretaciones del modelo-en teoría, puede llegar a ser aún más difícil. Sin embargo, las pruebas indican si una fórmula es semánticamente válido dadas las condiciones anteriores, y puede incluso generar teoremas de otros teoremas mecánicamente sin saber lo que va a demostrar en sistemas que tienen modus ponens a través de reglas de inferencia como condensada desprendimiento. Además, no suelen existir diferentes verdad conjuntos que tienen el mismo teorema, y quizás no lo sepa un adecuado dominio que desea para comprobar la validez semántica (pick axioma establece incluso de lógica proposicional y de imaginar tratando de encontrar todos los posibles conjuntos de valores de verdad que satisfacerlos).
Por lo tanto, incluso si lo que se propone en el primer párrafo no está bien desarrollado, he de decir que creo que tu pregunta tiene mucho mérito.
