Tengo la siguiente pregunta.
Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad, y deje $\hat{R}$ el valor de su terminación (w.r.t. cualquier ideal $I$). Deje $M$ $\hat{R}$- módulo. Es $M= N\otimes_R \hat{R}$ algunos $R$-módulo de $N$?
Respuesta
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OJW
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Deje $A \rightarrow B$ ser un fielmente plano de morfismos de anillos, entonces la categoría de $A$-módulos es equivalente a la categoría de $B$-módulos con el descenso de datos (ver aquí). En menos palabras precisas, $B$- módulo es de la forma $M \otimes_A B$ exactamente cuando uno puede proporcionar este descenso de datos.
Al $\hat{A}$ es la culminación de un noetherian anillo de $A$ a un ideal de a $I$ contenida en el Jacobson radical, a continuación, el mapa de $A \rightarrow \hat{A}$ es fielmente plana. Por ejemplo, este es satisfecho por cualquier noetherian anillo local.
No estoy seguro de si es razonable esperar una respuesta más completa (es decir, no Noetherian o $I \not\subset \text{Jac}(A)$).
