¿Cuál es el radio del círculo que pasa por $(-1,1)$ y tocando las líneas $x\pm y=2?$

Question

¿Cuál es el radio del círculo que pasa por $(-1,1)$ y tocando las líneas $x\pm y=2?$

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Las líneas $x+y=2$ y $x-y=2$ son perpendiculares entre sí y el círculo toca ambas líneas, estas líneas son tangentes al círculo. $P$ y $Q$ y que el centro de la circunferencia sea $O$ y que el punto donde las líneas $x\pm y=2$ conocer a be $R$ . $OP$ es perpendicular a $PR$ y $OQ$ es perpendicular a $QR$ Por lo tanto $OPRQ$ es un cuadrado y el punto $(-1,1)$ no se encuentra en ninguna de las líneas $x\pm y=2$ .

Pero ahora estoy atascado, cómo resolver más allá. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Dejemos que $(h,k)$ sea el centro del círculo requerido.

La distancia perpendicular de $(h,k)$ a $x+y-2=0$

\=La distancia perpendicular de $(h,k)$ a $x-y-2=0$

\=La distancia entre $(h,k)$ a $(-1,1)$ .

Las dos primeras igualdades dan $|\frac{h+k-2}{\sqrt 2}|=|\frac{h-k-2}{\sqrt 2}|$ lo que implicará $k=0$ o $h=2$

Entonces, tienes dos casos,

Caso,I $k=0$

De la segunda y tercera igualdad da,

$\frac{|h-2|}{\sqrt 2}=\sqrt{(h+1)^2+(1)^2}$ cuadrando en ambos lados,

ou $ \frac{(h-2)^2}{2}=(h+1)^2+1$

ou $h^2-4h+4=2h^2+4h+2+2$

ou $h^2+8h=0$

0r $h=0,-8$

Radio $=\sqrt{(-8+1)^2+(1)^2}=5\sqrt 2 or \sqrt{(0+1)^2+(1)^2}=\sqrt 2$

Caso II, $h=2$

$\frac{|2+k-2|}{\sqrt 2}=\sqrt{(2+1)^2+(k-1)^2}$

cuadrando en ambos lados,

o, $k^2= 18+2k^2-4k+2$

o, $k^2-4k+30$

Esto no tiene soluciones reales. Así que el caso II no es válido.

Answer 2

Hay dos círculos que se ajustan a sus preguntas. el plano está dividido en cuatro cuadrantes por las líneas $x \pm y = 2$ que se cruzan en $B = (2, 0).$ los dos círculos están en el mismo cuadrante que el punto $A = (-1,1).$ como el centro está en la bisectriz de las dos tangentes, el centro tiene coordenadas $O=(a, 0).$

el radio del círculo se puede encontrar de dos maneras:

(a) el centro es una distancia $\frac{|OB|}{\sqrt 2} = \frac{|a-2|}{\sqrt 2}$ de las tangentes,

(b) también es $|OA| = \sqrt{(a+1)^2 + 1}$

equiparando los dos se encuentra que $a = 0, a= -8.$

Answer 3

Aquí está otro enfoque. La ecuación general de un círculo es

$${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$$

con el centro en $(a,b)$ y el radio $R$ . Como la línea $x+y=2$ es tangente a su círculo, por lo que la línea y el círculo sólo tienen una intersección que usted llamó punto $P$ por lo que las coordenadas de $P$ es la solución del sistema algebraico no lineal

$$\left\{ \matrix{ {\left( {{x_P} - a} \right)^2} + {\left( {{y_P} - b} \right)^2} = {R^2} \hfill \cr {x_p} + {y_p} = 2 \hfill \cr} \right.$$

Por supuesto, este sistema tiene exactamente una solución. Teniendo en cuenta ${y_p} = 2 - {x_p}$ y poniéndola en la primera ecuación se puede obtener una ecuación cuadrática en términos de ${x_p}$ . Para forzar esta ecuación cuadrática basta con un raíz real, su discriminante debe ser cero. Realizando los cálculos se obtiene

$$\left\{ \matrix{ {\Delta _P} = 8{R^2} - 4{\left( {a + b - 2} \right)^2} = 0 \hfill \cr {x_p} = {a \over 2} - {b \over 2} + 1 \hfill \cr {y_p} = - {a \over 2} + {b \over 2} + 1 \hfill \cr} \right.$$

donde el ${\Delta _P}$ era el discriminante de la mencionada ecuación cuadrática. Puedes repetir el mismo proceso para el punto $Q$ El sólo intersección del círculo con la línea $x-y=2$ que se traduce en

$$\left\{ \matrix{ {\Delta _Q} = 8{R^2} - 4{\left( {a - b - 2} \right)^2} = 0 \hfill \cr {x_Q} = {a \over 2} + {b \over 2} + 1 \hfill \cr {y_Q} = {a \over 2} + {b \over 2} - 1 \hfill \cr} \right.$$

Ahora usando el ${\Delta _P}$ y ${\Delta _Q}$ ecuaciones, se obtiene

$$\left\{ \matrix{ \left| {a - b - 2} \right| = \left| {a + b - 2} \right| \hfill \cr R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| {a - b - 2} \right| = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| {a + b - 2} \right| \hfill \cr} \right.$$

Entonces son posibles dos casos según la primera ecuación anterior.

Caso 1. $b=0$
En este caso el radio $R$ la ecuación de círculos y las coordenadas de los puntos de intersección se convierten en

$$\left\{ \matrix{ R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| {a - 2} \right| \hfill \cr {\left( {x - a} \right)^2} + {y^2} = {1 \over 2}{\left( {a - 2} \right)^2} \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_p} = {a \over 2} + 1 \hfill \cr {y_p} = - {a \over 2} + 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,,\left\{ \matrix{ {x_Q} = {a \over 2} + 1 \hfill \cr {y_Q} = {a \over 2} - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$$

Caso 2. $a=2$
En este caso el radio $R$ la ecuación de círculos y las coordenadas de los puntos de intersección se convierten en

$$\left\{ \matrix{ R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| b \right| \hfill \cr {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {1 \over 2}{b^2} \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_p} = - {b \over 2} + 2 \hfill \cr {y_p} = {b \over 2} \hfill \cr} \right.\,\,\,,\left\{ \matrix{ {x_Q} = {b \over 2} + 2 \hfill \cr {y_Q} = {b \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$$

Así que hay dos familias de círculos, uno con centro en el eje x y otro con centro en la línea $x=2$ .

Answer 4

El centro de un círculo tangente a ambos $x+y=2$ y $x-y=2$ se encuentra en una de las bisectrices de los ángulos: el $x$ -eje o la línea $x=2$ . Si el círculo pasa por el punto $(-1,1)$ el centro debe estar en el $x$ -eje donde $x\lt2$ .

Si el centro está en $(x,0)$ entonces la distancia a cualquiera de las dos líneas $x\pm y=2$ es $$ \frac{\left|x\pm y-2\right|}{\sqrt2}=\frac{2-x}{\sqrt2} $$ por lo que tenemos que resolver la ecuación $$ \overbrace{(x+1)^2+1\vphantom{\frac{x^2}2}}^{\text{distance$ ^2 $ from $ (-1,1) $}}=\overbrace{\frac{(2-x)^2}2}^{\text{distance$ ^2 $ from $ x\pm y=2 $}}\implies x=-8\text{ and }x=0 $$ Por lo tanto, hay dos círculos:

1. Centrado en $(0,0)$ con radio $\sqrt2$ .

2. Centrado en $(-8,0)$ con radio $5\sqrt2$ .