Aquí está otro enfoque. La ecuación general de un círculo es
$${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$$
con el centro en $(a,b)$ y el radio $R$ . Como la línea $x+y=2$ es tangente a su círculo, por lo que la línea y el círculo sólo tienen una intersección que usted llamó punto $P$ por lo que las coordenadas de $P$ es la solución del sistema algebraico no lineal
$$\left\{ \matrix{ {\left( {{x_P} - a} \right)^2} + {\left( {{y_P} - b} \right)^2} = {R^2} \hfill \cr {x_p} + {y_p} = 2 \hfill \cr} \right.$$
Por supuesto, este sistema tiene exactamente una solución. Teniendo en cuenta ${y_p} = 2 - {x_p}$ y poniéndola en la primera ecuación se puede obtener una ecuación cuadrática en términos de ${x_p}$ . Para forzar esta ecuación cuadrática basta con un raíz real, su discriminante debe ser cero. Realizando los cálculos se obtiene
$$\left\{ \matrix{ {\Delta _P} = 8{R^2} - 4{\left( {a + b - 2} \right)^2} = 0 \hfill \cr {x_p} = {a \over 2} - {b \over 2} + 1 \hfill \cr {y_p} = - {a \over 2} + {b \over 2} + 1 \hfill \cr} \right.$$
donde el ${\Delta _P}$ era el discriminante de la mencionada ecuación cuadrática. Puedes repetir el mismo proceso para el punto $Q$ El sólo intersección del círculo con la línea $x-y=2$ que se traduce en
$$\left\{ \matrix{ {\Delta _Q} = 8{R^2} - 4{\left( {a - b - 2} \right)^2} = 0 \hfill \cr {x_Q} = {a \over 2} + {b \over 2} + 1 \hfill \cr {y_Q} = {a \over 2} + {b \over 2} - 1 \hfill \cr} \right.$$
Ahora usando el ${\Delta _P}$ y ${\Delta _Q}$ ecuaciones, se obtiene
$$\left\{ \matrix{ \left| {a - b - 2} \right| = \left| {a + b - 2} \right| \hfill \cr R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| {a - b - 2} \right| = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| {a + b - 2} \right| \hfill \cr} \right.$$
Entonces son posibles dos casos según la primera ecuación anterior.
Caso 1. $b=0$
En este caso el radio $R$ la ecuación de círculos y las coordenadas de los puntos de intersección se convierten en
$$\left\{ \matrix{ R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| {a - 2} \right| \hfill \cr {\left( {x - a} \right)^2} + {y^2} = {1 \over 2}{\left( {a - 2} \right)^2} \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_p} = {a \over 2} + 1 \hfill \cr {y_p} = - {a \over 2} + 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,,\left\{ \matrix{ {x_Q} = {a \over 2} + 1 \hfill \cr {y_Q} = {a \over 2} - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$$
Caso 2. $a=2$
En este caso el radio $R$ la ecuación de círculos y las coordenadas de los puntos de intersección se convierten en
$$\left\{ \matrix{ R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| b \right| \hfill \cr {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {1 \over 2}{b^2} \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_p} = - {b \over 2} + 2 \hfill \cr {y_p} = {b \over 2} \hfill \cr} \right.\,\,\,,\left\{ \matrix{ {x_Q} = {b \over 2} + 2 \hfill \cr {y_Q} = {b \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$$
Así que hay dos familias de círculos, uno con centro en el eje x y otro con centro en la línea $x=2$ .
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¿Quiere una solución geométrica o una solución analítica-geométrica?
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Tu comienzo no te ayuda ni un poco. Te sugeriría que primero dibujaras el problema para que entiendas cuál es el problema, porque la imagen que tienes en la cabeza parece sencillamente errónea :o
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Quiero una solución de geometría analítica, si es posible.
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La ecuación de un círculo que pasa por $(x_1, y_1)$ y tocando la línea L viene dada por $(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 +\lambda L = 0$ . ¿Se puede usar esto?
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También puede utilizar el hecho de que RPOQ es un cuadrado.
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¿Cómo utilizar el hecho de que RPOQ es un cuadrado, cómo se utilizará?
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Olvídate por el momento del punto (-1, 1) y trata de entender dónde deben estar los centros de todas las circunferencias que tocan ambas líneas
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En sus bisectrices de ángulo, ¿verdad?
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Exacto. Entonces elige el círculo que pasa por (-1, 1)
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¿Qué ha querido decir con su última frase? "el punto $(-1,1)$ no se encuentra en ninguna de las líneas $x \pm y = 2$ " ¿El círculo tiene que pasar por (-1,1)?