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¿Cuál es el radio del círculo que pasa por $(-1,1)$ y tocando las líneas $x\pm y=2?$

¿Cuál es el radio del círculo que pasa por $(-1,1)$ y tocando las líneas $x\pm y=2?$


Las líneas $x+y=2$ y $x-y=2$ son perpendiculares entre sí y el círculo toca ambas líneas, estas líneas son tangentes al círculo. $P$ y $Q$ y que el centro de la circunferencia sea $O$ y que el punto donde las líneas $x\pm y=2$ conocer a be $R$ . $OP$ es perpendicular a $PR$ y $OQ$ es perpendicular a $QR$ Por lo tanto $OPRQ$ es un cuadrado y el punto $(-1,1)$ no se encuentra en ninguna de las líneas $x\pm y=2$ .

Pero ahora estoy atascado, cómo resolver más allá. Por favor, ayúdame.

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¿Quiere una solución geométrica o una solución analítica-geométrica?

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Tu comienzo no te ayuda ni un poco. Te sugeriría que primero dibujaras el problema para que entiendas cuál es el problema, porque la imagen que tienes en la cabeza parece sencillamente errónea :o

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Quiero una solución de geometría analítica, si es posible.

3voto

user36789 Puntos 9

Dejemos que $(h,k)$ sea el centro del círculo requerido.

La distancia perpendicular de $(h,k)$ a $x+y-2=0$

\=La distancia perpendicular de $(h,k)$ a $x-y-2=0$

\=La distancia entre $(h,k)$ a $(-1,1)$ .

Las dos primeras igualdades dan $|\frac{h+k-2}{\sqrt 2}|=|\frac{h-k-2}{\sqrt 2}|$ lo que implicará $k=0$ o $h=2$

Entonces, tienes dos casos,

Caso,I $k=0$

De la segunda y tercera igualdad da,

$\frac{|h-2|}{\sqrt 2}=\sqrt{(h+1)^2+(1)^2}$ cuadrando en ambos lados,

ou $ \frac{(h-2)^2}{2}=(h+1)^2+1$

ou $h^2-4h+4=2h^2+4h+2+2$

ou $h^2+8h=0$

0r $h=0,-8$

Radio $=\sqrt{(-8+1)^2+(1)^2}=5\sqrt 2 or \sqrt{(0+1)^2+(1)^2}=\sqrt 2$

Caso II, $h=2$

$\frac{|2+k-2|}{\sqrt 2}=\sqrt{(2+1)^2+(k-1)^2}$

cuadrando en ambos lados,

o, $k^2= 18+2k^2-4k+2$

o, $k^2-4k+30$

Esto no tiene soluciones reales. Así que el caso II no es válido.

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Su enfoque no es completamente analítico, ya que utiliza algunos hechos geométricos. Así que esta solución no es completamente analítica.

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@H.R. ¿Podría explicar qué se entiende por "analítico"?

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Lo siento, es que he entendido mal algunas partes. :) Mi error.

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Hay dos círculos que se ajustan a sus preguntas. el plano está dividido en cuatro cuadrantes por las líneas $x \pm y = 2$ que se cruzan en $B = (2, 0).$ los dos círculos están en el mismo cuadrante que el punto $A = (-1,1).$ como el centro está en la bisectriz de las dos tangentes, el centro tiene coordenadas $O=(a, 0).$

el radio del círculo se puede encontrar de dos maneras:

(a) el centro es una distancia $\frac{|OB|}{\sqrt 2} = \frac{|a-2|}{\sqrt 2}$ de las tangentes,

(b) también es $|OA| = \sqrt{(a+1)^2 + 1}$

equiparando los dos se encuentra que $a = 0, a= -8.$

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¿Qué se entiende por bisectriz de las tangentes? La tangente es una línea infinita.

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@Babai, me refería a una de las bisectrices de los ángulos de las dos rectas de tu pregunta.

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Vale, entonces tiene sentido.

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H. R. Puntos 4749

Aquí está otro enfoque. La ecuación general de un círculo es

$${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$$

con el centro en $(a,b)$ y el radio $R$ . Como la línea $x+y=2$ es tangente a su círculo, por lo que la línea y el círculo sólo tienen una intersección que usted llamó punto $P$ por lo que las coordenadas de $P$ es la solución del sistema algebraico no lineal

$$\left\{ \matrix{ {\left( {{x_P} - a} \right)^2} + {\left( {{y_P} - b} \right)^2} = {R^2} \hfill \cr {x_p} + {y_p} = 2 \hfill \cr} \right.$$

Por supuesto, este sistema tiene exactamente una solución. Teniendo en cuenta ${y_p} = 2 - {x_p}$ y poniéndola en la primera ecuación se puede obtener una ecuación cuadrática en términos de ${x_p}$ . Para forzar esta ecuación cuadrática basta con un raíz real, su discriminante debe ser cero. Realizando los cálculos se obtiene

$$\left\{ \matrix{ {\Delta _P} = 8{R^2} - 4{\left( {a + b - 2} \right)^2} = 0 \hfill \cr {x_p} = {a \over 2} - {b \over 2} + 1 \hfill \cr {y_p} = - {a \over 2} + {b \over 2} + 1 \hfill \cr} \right.$$

donde el ${\Delta _P}$ era el discriminante de la mencionada ecuación cuadrática. Puedes repetir el mismo proceso para el punto $Q$ El sólo intersección del círculo con la línea $x-y=2$ que se traduce en

$$\left\{ \matrix{ {\Delta _Q} = 8{R^2} - 4{\left( {a - b - 2} \right)^2} = 0 \hfill \cr {x_Q} = {a \over 2} + {b \over 2} + 1 \hfill \cr {y_Q} = {a \over 2} + {b \over 2} - 1 \hfill \cr} \right.$$

Ahora usando el ${\Delta _P}$ y ${\Delta _Q}$ ecuaciones, se obtiene

$$\left\{ \matrix{ \left| {a - b - 2} \right| = \left| {a + b - 2} \right| \hfill \cr R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| {a - b - 2} \right| = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| {a + b - 2} \right| \hfill \cr} \right.$$

Entonces son posibles dos casos según la primera ecuación anterior.

Caso 1. $b=0$
En este caso el radio $R$ la ecuación de círculos y las coordenadas de los puntos de intersección se convierten en

$$\left\{ \matrix{ R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| {a - 2} \right| \hfill \cr {\left( {x - a} \right)^2} + {y^2} = {1 \over 2}{\left( {a - 2} \right)^2} \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_p} = {a \over 2} + 1 \hfill \cr {y_p} = - {a \over 2} + 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,,\left\{ \matrix{ {x_Q} = {a \over 2} + 1 \hfill \cr {y_Q} = {a \over 2} - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$$

Caso 2. $a=2$
En este caso el radio $R$ la ecuación de círculos y las coordenadas de los puntos de intersección se convierten en

$$\left\{ \matrix{ R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left| b \right| \hfill \cr {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {1 \over 2}{b^2} \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_p} = - {b \over 2} + 2 \hfill \cr {y_p} = {b \over 2} \hfill \cr} \right.\,\,\,,\left\{ \matrix{ {x_Q} = {b \over 2} + 2 \hfill \cr {y_Q} = {b \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$$

Así que hay dos familias de círculos, uno con centro en el eje x y otro con centro en la línea $x=2$ .

0voto

Anthony Shaw Puntos 858

El centro de un círculo tangente a ambos $x+y=2$ y $x-y=2$ se encuentra en una de las bisectrices de los ángulos: el $x$ -eje o la línea $x=2$ . Si el círculo pasa por el punto $(-1,1)$ el centro debe estar en el $x$ -eje donde $x\lt2$ .

enter image description here

Si el centro está en $(x,0)$ entonces la distancia a cualquiera de las dos líneas $x\pm y=2$ es $$ \frac{\left|x\pm y-2\right|}{\sqrt2}=\frac{2-x}{\sqrt2} $$ por lo que tenemos que resolver la ecuación $$ \overbrace{(x+1)^2+1\vphantom{\frac{x^2}2}}^{\text{distance$ ^2 $ from $ (-1,1) $}}=\overbrace{\frac{(2-x)^2}2}^{\text{distance$ ^2 $ from $ x\pm y=2 $}}\implies x=-8\text{ and }x=0 $$ Por lo tanto, hay dos círculos:

  1. Centrado en $(0,0)$ con radio $\sqrt2$ .

  2. Centrado en $(-8,0)$ con radio $5\sqrt2$ .

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¿Podría echar un vistazo a esta pregunta también. Gracias, por cierto. :)

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