Demostrar

Question

Yo una vez tenía que mostrar que $\cos(x)\sin(x)=\frac{1}{2}\sin(2x)$ utilizar el producto de Cauchy y confió en $$\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k}=4^n.$ $ sin embargo nunca surgió una prueba de por qué esto es cierto, es cualquier corto prueba ¿por qué esto es?

Answer 1

$2 ^ {2n +1} = (1 +1) ^ {2n +1} = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} $.

$0 =(1-1) ^ {2n +1} = \sum_{k=0}^{2n+1} (-1) ^ k\binom {2n +1} ${k}.

Adición de estos, $2 ^ {2n +1} = \sum{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k}(1+(-1)^k) = 2\sum {k = 0} ^ {n} \binom{2n+1}{2k} $ que $2 ^ {2n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k} $.