¿Cuál es el método más rápido para encontrar cuál de$\frac {3\sqrt {3}-4}{7-2\sqrt {3}} $ y$\frac {3\sqrt {3}-8}{1-2\sqrt {3}} $ es más grande manualmente?

Question

¿Cuál es el método más rápido para encontrar qué número es más grande manualmente?

$\frac {3\sqrt {3}-4}{7-2\sqrt {3}} $ o$\frac {3\sqrt {3}-8}{1-2\sqrt {3}} $

Answer 1

Me multiplicaría por el conjugado del denominador$$a=\frac{3 \sqrt{3}-4}{7-2 \sqrt{3}}=\frac{1}{37} \left(13 \sqrt{3}-10\right)$$ $$b=\frac{3 \sqrt{3}-8}{1-2 \sqrt{3}}=\frac{1}{11} \left(13 \sqrt{3}-10\right)$$ this makes $ a <b $.

Answer 2

El uso de la regla de $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ $a,b>0$ uno comprueba los signos del numerador y el denominador a ser positivos para la primera fracción y negativos para la segunda fracción. Este es, por tanto, una comparación de dos números positivos (así que no hay veredicto todavía), y por voltear los signos del numerador y el denominador de la derecha podemos asegurar que todos los factores son positivos: compare $\frac{3\sqrt3-4}{7-2\sqrt3}$$\frac{8-3\sqrt3}{2\sqrt3-1}$. Ahora multiplique por la positiva (!) producto de los denominadores, para comparar el $(3\sqrt3-4)(2\sqrt3-1)$ $(8-3\sqrt3)(7-2\sqrt3)$ lo que equivale a comparar a $22-11\sqrt3$ $74-37\sqrt3$ o, finalmente,$26\sqrt3$$52$. Ya que por feliz coincidencia, $26\times2=52$ $\sqrt3<2$ el número de la izquierda es menor.

No estoy seguro de si muchas personas pueden hacer esto fácilmente por la aritmética mental (yo ciertamente no lo hizo). Cada uno de los términos en la comparación final se obtiene mediante la suma de $4$ de los productos de los términos en la expresión original. Uno de los productos, es decir,$(2\sqrt3)(3\sqrt3)$, aporta el doble de signo contrario, por lo que podría haber sido cancelado con anterioridad (dejando $7\times8-4\times1=52$ para ese término), pero eso es todo lo que puedo ver en simplificaciones. Personalmente, mi principal problema con la computación mental es que me consigue muy a menudo el signo de un término equivocado en mi cabeza, pero tal vez con un montón de capacitación se puede limitar este tipo de errores.

Answer 3

ps

Ahora$$\dfrac{3\sqrt3-8}{1-2\sqrt3}=\dfrac{8-3\sqrt3}{2\sqrt3-1}$ $

ps

Ahora el denominador$$\dfrac{3\sqrt3-4}{7-2\sqrt3}-\dfrac{8-3\sqrt3}{2\sqrt3-1}=\dfrac{(3\sqrt3-4)(2\sqrt3-1)-(7-2\sqrt3)(8-3\sqrt3)}{(7-2\sqrt3)(2\sqrt3-1)}$ y$$=\dfrac{26\sqrt3-52}{(7-2\sqrt3)(2\sqrt3-1)}$

Answer 4

Usando la aproximación$\sqrt3\approx1.7$, uno puede hacer un poco de aritmética mental y ver que

ps

Esto solo funciona, por supuesto, porque los dos números no están para nada cerca. Tampoco es una prueba rigurosa, aunque podría convertirse en una con un poco más de cuidado. Por ejemplo, desde$${3\sqrt3-4\over7-2\sqrt3}\approx{1.1\over3.6}\lt1\qquad\text{while}\qquad{3\sqrt3-8\over1-2\sqrt3}\approx{-2.9\over-2.4}={2.9\over2.4}\gt1$, tenemos

ps

(Note el elemento de suerte aquí, en el sentido de que los dos límites crudos coinciden).

Answer 5

Reclamo:

$$\frac {3\sqrt {3}-4}{7-2\sqrt {3}}

Prueba:

Que $u=\sqrt 3-1$. Nota $1>u>\frac12$.

If

$$\frac{3u-1}{5-2u}-6u^2+25u-25$$ $$\Leftarrow26>26u$$ $$\Leftarrow1>u=\sqrt3-1$$

que es cierto.