si es diferente de

Question

Algo insignificantes en mí desde el camino de vuelta. Es nuestra definición de una antiderivada $\int f(x)dx = F(x)$ (que $F'(x) = f(x)$) diferente de alguna manera de la integral definida con la variable de los límites, es decir, la función de $f(x) = \int_0^x f(t)dt$ ?

Parece que puedo pensar de ellos tanto como a los operadores que tomar en una función y dar la espalda a una función. No el Teorema Fundamental del Cálculo, a continuación, nos dan ese $\frac{d}{dx}\int f(x)dx = f(x)$?

Este vino porque Wolfram dice, de la FTC

$$\int_a^b = f(x)dx = F(a) - F(b)$$

que, "Este resultado, mientras que enseñó a principios elementales de cálculo de los cursos, es en realidad una muy profunda resultado de la conexión de la puramente algebraico de la integral indefinida y la puramente analítica (o geométrica) de la integral definida."

Supongo que mi pregunta es: ¿por qué necesitamos estos dos conceptos distintos, el algebraico y geométrico? ¿Por qué no podemos obtener con sólo las integrales definidas?

Answer 1

La función definida por

$$ F(x) = \int_0^x f(t)\,dt $$

es una antiderivada de $f$. Hay infinitamente muchos antiderivatives de $f$, y están representados colectivamente por el símbolo

$$ \int f(t)\,dt, $$

a veces se llama la integral indefinida. Esta es la razón por la que siempre agregar "$+C$" para el final, cuando la evaluación de la integral indefinida; cada una selección de $C$ da una diferente antiderivada.

Se debe señalar también que, a veces, $\int_0^x f(t)\,dt$ no existe, por ejemplo, cuando $f(t) = 1/t$.