Probabilidad de a lo menos N eventos ocurriendo

Question

Tengo una serie de N eventos, cada uno con su propia probabilidad de que ocurra. ¿Cómo se calcula la probabilidad de que al M menos de los eventos de N ocurren realmente?

Creo que esto es condicional, en que llegar por lo menos M ocurrencias depende de conseguir al menos M-1 ocurrencias. Más allá de estoy consiguiendo atrapado.

Answer 1

Para cualquier futuro visitante, la expresión dada para la probabilidad de al menos $m$ $n$eventos $(A_1, \ldots ,A_n)$ Introducción a la probabilidad de William Feller es esto:

$$P_m = Sm - \binom{m}{1}S{m+1}+\binom{m+1}{2}S_{m+2}-\ldots\pm\binom{n-1}{m-1}S_n$$

donde $$\displaystyle Sk = \sum{1\leq i_1

Ciertamente no es bonito, pero es general.

Es probado por encontrar la expresión exactamente $m$ eventos y luego añadir las expresiones de $m$ a todos $n$ mediante la inducción.

Answer 2

Consideremos que tenemos cuatro eventos independientes a,B,C,D, cada uno con probabilidad Pa,Pb,Pc,Pd asociados con él. Ahora tenemos que encontrar la probabilidad de que al menos dos de los eventos que ocurren.

En primer lugar encontramos la probabilidad de que exactamente dos de los eventos que ocurren.

Estos dos eventos pueden ser AB, AC, AD, BC, BD, CD.

espacio para eventos = {AB, AC, AD, BC, BD, CD, }

Ya que todos estos eventos son mutuamente excluyentes.

Probabilidad de que uno de ellos ocurriendo, es la Suma de todas las probabilidades en el espacio de eventos.

P(AB) = Pa * Pb * (1-Pc) * (1-Pd)

P(AC) = Pa * (1-Pb) * Pc * (1-Pd)

P(AD) = Pa * (1-Pb) * (1-Pc) * Pd

P(BC) = (1-Pa) * Pb * Pc * (1-Pd)

P(BD) = (1-Pa) * Pb * (1-Pc) * Pd

P(CD) = (1-Pa) * (1-Pb) * Pc * Pd

A partir de aquí que la suma de todos estos elementos para obtener la probabilidad de que Dos eventos ocurran. En una manera similar, podemos calcular la probabilidad de Tres y Cuatro eventos que ocurren.

Probabilidad Final = Prob(Two_events) + Prob(Three_events) + Prob(Four_events)

Sin embargo soy incapaz de generalizar por lo menos M eventos de N.

Tengo la esperanza de que va a arrojar más luz sobre el problema.

Answer 3

Por sugerencia de Alex, aquí está el script Lua que solía resolver mi problema. Tarda mucho mientras y no ignorar la sugerencia de optimización si es relevante.