¿Cómo solicitar el subespacio $AB-BA$ tiene dimensión $n^2-1$?

Question

Hay un problema dado en ÁLGEBRA LINEAL por HOFFMAN & kUNZE PÁGINA de $107$,

Muestran que el seguimiento funcional en matrices cuadradas de orden $n$ se caracteriza en el siguiente sentido: Si $W$ es el espacio del tamaño de $n$ matrices sobre el campo $F$ e si $f$ es un funcional lineal en $W$ tal que $f(AB)=f(BA)$ por cada $A$$B$$W$, $f$ es un escalar múltiples de la función de trazado.

Yo: Poner $C=AB-BA$. Claramente $\operatorname{Tr} C=0$.

Afirmo que la dimensión del subespacio de tal $C$$n^2-1$. Así que por el rango-nulidad teorema de $$\dim \ker f +\dim\operatorname{Im} f=n^2$$ i.e $n^2-1+\dim\operatorname{Im}=n^2$ ( as $f(C)=0$).

Por lo tanto $\operatorname{rank} f=1$.

Ahora ya traza funcional satisface dichas $f$'s y es escalar múltiples es también un subespacio de dimensión $1$, $f$ debe ser escalar varios de $\operatorname{Tr}$.

MI PROBLEMA: yo dije que el subespacio (el terrible hecho es que no estoy seguro si es un subespacio o no, no puedo probarlo) de las matrices de la forma $AB-BA$ tiene dimensión con $n^2-1$. Esto significa que no hay ninguna restricción en las entradas de $AB-BA$, excepto el hecho de que su traza es $0$. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Cualquier otro enfoque o sugerencia para solucionar ese problema también me ayudará. Gracias por leer!

Answer 1

Pretendemos que $\{AB - BA : A,B \in M_n(\mathbb{C})\} = \{A \in M_n(\mathbb{C}), \operatorname{Tr }A = 0\} = \ker \operatorname{Tr}$.

Ya sabemos que $\{AB - BA : A,B \in M_n(\mathbb{C})\} \subseteq \ker \operatorname{Tr}$.

Deje $E_{ij}$ denotar la matriz con $1$ en la posición $(i,j)$ $0$ en otros lugares.

Compruebe que $B = \{E_{ij} : 1 \le i, j \le n, i\ne j\} \cup \{E_{ii} - E_{nn} : 1 \le i \le n-1 \}$ es una base para $\ker \operatorname{Tr}$.

Para $1 \le i, j \le n, i\ne j$ hemos

$$E_{ij} = E_{ik}E_{kj} - E_{kj}E_{ik}$$

donde $k$ es cierto índice $\ne i,j$. Para ver esto, vamos a $\{e_1, \ldots, e_n\}$ ser el estándar de base para $\mathbb{C}^n$ y tenga en cuenta que$E_{ij}e_j = e_i$$E_{ij}e_r = 0$$r \ne j$. Ahora compruebe que

$$(E_{ik}E_{kj} - E_{kj}E_{ik})e_r = \begin{cases} 0, &\text{if } r \ne j,k\\ E_{ik}E_{kj}e_j = E_{ik}e_k = e_i, &\text{if }r = j\\ -E_{kj}E_{ik}e_k = -E_{kj}e_i = 0, &\text{if }r = k\\ \end{casos}$$

Para $1 \le i \le n-1$ hemos

$$E_{ii} - E_{nn} = E_{in}E_{ni} - E_{ni}E_{in}$$

De hecho

$$(E_{en}E_{ni} - E_{ni}E_{en})e_r = \begin{cases} 0, &\text{if } r \ne i,n\\ E_{in}E_{ni}e_i = E_{in}e_n = e_i, &\text{if }r = i\\ - E_{ni}E_{in}e_n = -E_{ni}e_i = -e_n, &\text{if }r = n\\ \end{casos}$$

Por lo tanto,$B \subseteq \{AB - BA : A,B \in M_n(\mathbb{C})\}$, por lo que llegamos a la conclusión de $\ker \operatorname{Tr} \subseteq \{AB - BA : A,B \in M_n(\mathbb{C})\}$.