¿Cómo debo demostrar que es cuña de círculos infinitos?

Question

Sé que la forma que vemos a continuación es equivalente de homotopía de cuña de círculos infinitos, por lo que el grupo fundamental de la es $\prod {1}(\vee {\alpha \in A}S^{1})=\ast _{\alpha \in A }\mathbb{Z}$, pero no sé cómo debo demostrar que es la cuña de los infinitos círculos, también me puedo imaginar lo que está pasando para esta shape.please ayuda m e con tus conocimientos, gracias.

Answer 1

Esta es una difícil homotopy equivalencia a visualizar, pero he intentado hacer un dibujo de lo que está pasando. Primero hacer un agujero en la superficie de su partida a $+\infty$ y empujando desde la derecha. De manera similar a hacer un agujero de la izquierda. Usted puede ver que este es un homotopy equivalencia por analogía con una infinita cilindro, que puede ser visualizado como tener dos de puntos frontera de los componentes en $\pm\infty$. Esto transforma su superficie en un infinito tira con una banda de la conexión de la parte superior y la parte inferior y una infinidad de tubos. Ahora mira a la derecha-lado de mi foto que muestra un cuadrado con un tubo en el medio. Una vez que se dibuja en el indicado $1$-de las células, el complemento es un disco, que se puede utilizar para empujar el borde superior sobre el resto de $1$-de las células, como se indica en la parte inferior derecha. Hacer esto para una infinidad de cuadros en una fila en su tira todo al mismo tiempo, para obtener la parte inferior izquierda de la imagen. A partir de aquí, es fácil ver que esta es una cuña de una infinidad de círculos. Tenga en cuenta que usted obtiene un "extra" del círculo, además de la obvia infinitamente muchos pares.

Answer 2

Deje $X$ ser el infinito orificios toro y $G$ su grupo fundamental. Usted puede escribir $X$ como un aumento de la unión a $X= \bigcup\limits_{n \geq 2} X_n$ donde $X_n$ $4$- perforado $n$-metidos toro; deje $G_n$ denotar su grupo fundamental, que es un grupo libre de rango $2n+2$. En la siguiente figura, $X_3$ es representado con un libre de $G_3$ en rojo.

Ahora, usted puede notar que $G_{n+1}=G_n \ast \mathbb{F}_2$ (en particular, $G_n$ es, naturalmente, un subgrupo de $G_{n+1}$) y que la inclusión $X_n \hookrightarrow X$ induce un inyectiva homomorphism $G_n \hookrightarrow G$. Por lo tanto, $\bigcup\limits_{n \geq 2} G_n$ es isomorfo a $\mathbb{F}_{\infty}$ y puede ser visto como un subgrupo de $G$. Debido a $\bigcup\limits_{n \geq 2} X_n = X$, en el hecho de $G= \bigcup\limits_{n \geq 2} G_n$, e $G$ es un grupo libre de (countably) infinito rango.

Agregado: 1) mostrar que $G_n \to G$ es inyectiva, es suficiente para demostrar que si $c : [0,1] \to X_n$ es un bucle que $c=1$$G$$c=1$$G_n$. Si $H : [0,1]^2 \to X$ es un homotopy entre el $c$ y el loop, por la compacidad $\mathrm{Im}(H) \subset X_m$ algunos $m \geq n$, por lo tanto $c=1$$G_m$. Pero $G_n$ es un subgrupo de $G_m$ por lo tanto $c=1$$G_n$.

2) Gracias a la relación $G_{n+1}= G_n \ast \mathbb{F}_2$, existen bucles $a_1, a_2, \dots$ tal que $\{a_1,\dots,a_{2+2n}\}$ es un servicio gratuito de base de $G_n$ todos los $n \geq 2$. Por lo tanto, $\{a_1,a_2, \dots\}$ es un servicio gratuito de base de $\bigcup\limits_{n \geq 2} G_n$.

Answer 3

Romper el espacio $X$ en infinitamente countably muchas piezas de $\{X_i\}$, donde cada pieza es homotopy equivalente a un toro de menos de dos distintos discos, y la intersección de cada dos consecutivos piezas es homotopy equivalente a la de un círculo. Elija una línea recta $L$ que se extiende a través de todas las piezas, y elegir un punto de base $y_0$ en esta línea. Deje $Y_i$ ser la unión de $X_i$, y en un pequeño barrio de $L$ que la deformación se retrae en $L$.

La cubierta está abierta $\{Y_i\}$ $X$ satisface las condiciones del teorema de van Kampen. La inclusión del mapa de $Y_i \cap Y_{i+1} \hookrightarrow Y_{i}$ mapas el generador de $Y_i \cap Y_{i+1}$ a un generador de $Y_i$. Lo mismo es cierto para $Y_i \cap Y_{i+1} \hookrightarrow Y_{i+1}$. Todas las otras intersecciones tienen trivial fundamentales de los grupos. Desde cada una de las $\pi_1(Y_i)$ es el libre grupo de tres generadores, se deduce que el $\pi_1(X)$ es el grupo en countably infinitamente muchos generadores.