Encuentra el valor de $ \int_ {- \infty }^{ \infty } \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{-(x^2+xy+y^2)}dx\,dy$

Question

Dado que $ \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{-x^2}dx= \sqrt { \pi }$ . Encuentra el valor de $$ \int_ {- \infty }^{ \infty } \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{-(x^2+xy+y^2)}dx\,dy$$

No entiendo cómo encuentro esta doble integral usando los datos dados. Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Por diversión, quiero señalar que se puede decir mucho más. El teorema espectral para matrices simétricas reales nos dice que las matrices simétricas reales son ortogonalmente diagonales. Por lo tanto, si $A$ es una matriz simétrica, luego existe una matriz ortogonal $U$ y la matriz diagonal $D$ de tal manera que $A$ puede escribirse como $A=U^{-1} DU$ . Por lo tanto $x^TAx=x^TU^TDUx=(Ux)^TD(Ux)$ . El detonante jacobino de la transformación $x \mapsto Ux$ es simplemente $1$ así que tenemos un cambio de variables $u=Ux$ :

$$ \begin {array}{ll} \int_ {{ \bf R}^n} \exp\left (-x^TAx \right )dV & = \int_ {{ \bf R}^n} \exp\left (-( \lambda_1u_1 ^2+ \cdots + \lambda_nu_n ^2) \right )dV \\ & = \prod_ {i=1}^n \int_ {- \infty }^{+ \infty } \exp\left (- \lambda_i u_i^2 \right )du_i \\ & = \prod_ {i=1}^n \left [ \frac {1}{ \sqrt { \lambda_i }} \int_ {- \infty }^{+ \infty }e^{-u^2}du \right ] \\ & = \sqrt { \frac { \pi ^n}{ \det A}}. \end {array}$$

Tengan en cuenta que ni siquiera tenemos que calcular $U$ o $D$ . El cálculo anterior es la versión generalizada del enfoque de "completar los cuadrados" cuando $n=2$ (que se invoca en otra parte de este hilo).

Esta fórmula es, de hecho, la base de la formulación integral del determinante funcional del camino de Feynman de la teoría cuántica de campos; ya que técnicamente la integral diverge, necesitamos compararla en lugar de mirar directamente a las individuales. Wikipedia tiene algunos detalles más .

Answer 2

$$ \begin {align} \int_ {- \infty }^ \infty\int_ {- \infty }^ \infty e^{-(x^2+xy+y^2)}\, \mathrm {d}x\, \mathrm {d}y &= \int_ {- \infty }^ \infty\int_ {- \infty }^ \infty e^{-((x+y/2)^2+3y^2/4)}\, \mathrm {d}x\, \mathrm {d}y \\ &= \int_ {- \infty }^ \infty\int_ {- \infty }^ \infty e^{-(u^2+3y^2/4)}\, \mathrm {d}u\, \mathrm {d}y \\ &= \int_ {- \infty }^ \infty e^{-u^2}\, \mathrm {d}u \int_ {- \infty }^ \infty e^{-3y^2/4}\, \mathrm {d}y \\ &= \int_ {- \infty }^ \infty e^{-u^2}\, \mathrm {d}u \sqrt { \frac43 } \int_ {- \infty }^ \infty e^{-v^2}\, \mathrm {d}v \\ &= \sqrt\pi\sqrt { \frac43 } \sqrt\pi\\ &= \pi\sqrt { \frac43 } \\ &= \frac {2 \pi }{ \sqrt3 } \end {align} $$