Consistencia de ZFC + "para cada función existe una clase inaccesible a él"

Question

Es ZFC + la siguiente declaración coherente (y si es así, es equiconsistent a algunas de las grandes cardenal):

Para cada función de $f:ORD \rightarrow ORD$ tal forma que:

1. $f(\alpha)\geq \alpha$,

2. $\alpha > \beta \Rightarrow f(\alpha) \geq f(\beta)$

$\{\kappa|\kappa \text{ is regular} \wedge \forall \alpha <\kappa (f(\alpha)<\kappa)\}$ es una clase adecuada.

Obviamente, esto no es un teorema de ZFC, como podemos tomar $f(\alpha)=|2^{\aleph_\alpha}|$ y a la conclusión de que tenemos una clase adecuada inaccesibles de los cardenales. En realidad, el uso de $f(\alpha) = \alpha\text{-th-inaccessible cardinal}$ obtenemos 1-inaccesible cardenales, y luego podemos obtener de hyper-inaccessibles y obtener al menos hasta Mahlo cardenales, tal vez más.

Por lo tanto esta declaración de alguna manera es claramente inconsistente, o que tiene una consistencia fuerza de algunos de los grandes cardenal.

Nota: la idea detrás de esta construcción es que "quita la singularidad" de la función de potencia en la construcción de la inaccessibles. Literalmente, ¿qué es 'lo más' en la que podemos salir de una función en particular.

Answer 1

Esto también es conocido como "$\rm Ord$ es Mahlo". Es decir, cada clase, que es cerrada y acotada tiene una regular el cardenal.

Sin duda es más débil que una Mahlo cardenal: Si $\kappa$ es Mahlo, a continuación, $\langle V_\kappa,\in\rangle$ es un modelo de esta teoría. Pero esto es más débil. Sólo necesitamos cada definibles por el clase a tiene un regular el cardenal, y en $V_\kappa$ cada club tendrá un cardenal.

Así podemos reducir un poco de Mahlo para algunos lo suficientemente inaccesible cardenal. Ver también http://cantorsattic.info/ORD_is_Mahlo para algunos detalles.