¿Un difeomorfismo que mapea geodésicas a geodésicas preserva la conexión?

Question

Deje $(M,\nabla^M),(N,\nabla^N)$ dos liso colectores con el dado (afín) conexiones en su (tangente paquetes). Decimos que un diffeomorphism ,$\phi:(M,\nabla^M)\rightarrow(N,\nabla^N)$ es un isomorfismo si: $\nabla^N_X{Y}=\phi_* \left( \nabla^{M}_{\phi^{-1}_*(X)} {\phi^{-1}_*(Y)} \right) \forall X,Y \in \Gamma(TN)$,

donde el pushforward $\phi_*(X)(q)=d\phi_{\phi^{-1}(q)}[X \left(\phi^{-1}(q)\right)]$ es el correspondiente isomoprhism de álgebras de Lie.

Suponga $(M,\nabla)$ es un buen colector con una conexión afín (en su tangente bundle). Deje $\phi \in \text{Diff(M)}$. Si para cada geodésica $\gamma$ (w.r.t $\nabla$) $\phi \circ \gamma$ es una geodésica, es verdad que debe ser un isomorfismo de $(M,\nabla)$?

(Tenga en cuenta que si hacemos esta pregunta con dos conexiones de $\nabla_1,\nabla_2$ , y se supone que $\phi$ mapas geodesics $\nabla_1$ en geodesics de $\nabla_2$ , entonces, claramente, la respuesta es negativa. Por ejemplo, podemos tomar dos diferentes conexiones con idéntico geodesics, y $\phi = Id$)

Answer 1

No, no es cierto.

Dos conexiones de $\nabla_1$ $\nabla_2$ tienen el mismo geodesics si y sólo si su diferencia tensor $D(X,Y) = (\nabla_1)_X Y - (\nabla_2)_X Y$ es antisimétrica, significando $D(X,Y) = - D(Y,X)$ todos los $X,Y$. Deje $\overline\nabla$ denotar la distancia Euclídea conexión en $\mathbb R^3$, y elegir un suave golpe función de $\psi$ apoyado en un diseño compacto barrio de el origen. Definir una nueva conexión de $\nabla$ $\mathbb R^3$ por $$ \nabla_X Y = \overline\nabla_X Y + \psi X\times Y, $$ donde $X\times Y$ es lo habitual en la cruz del producto. Entonces la diferencia de tensor de entre $\nabla$$\overline\nabla$$\psi X\times Y$, que es antisimétrica, por lo que el geodesics para ambas conexiones son de velocidad constante en línea recta.

Ahora vamos a $\phi\colon \mathbb R^3\to \mathbb R^3$ ser una traducción. Se tarda líneas rectas líneas rectas, por lo que tarda $\nabla$-geodesics a $\nabla$-geodesics. Pero el retroceso de conexión es $$ (\phi^*\nabla)_X Y = \overline\nabla_X Y + (\psi\circ\phi) X\times Y, $$ que no es lo mismo que $\nabla$.