¿Cuáles son las diferencias básicas entre el$\mathbb C$$\mathbb R^2$?
Los puntos en que estos dos conjuntos se escriben como pares ordenados, me refiero a que la estructura es similar a mí. Entonces, ¿cuál es la razón para denotar estos dos conjuntos de manera diferente?
La respuesta a esta pregunta depende de lo que quieres decir por $\mathbf{R}^2$. Usted puede escribir $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$, pero el "$\times$" puede tener diferentes significados dependiendo de la categoría en la que trabaja.
Como establece:
Si ve $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$ como conjuntos, esto significa que usted está haciendo caso omiso de cualquier posible estructura en estas cosas, además de sus elementos (así que olvídate de multiplicación, suma, nada). Desde esta perspectiva, $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$ son el mismo objeto (en términos técnicos son isomorfos en la categoría de conjuntos) porque hay un bijection $$(a,b)\ \leftrightarrow\ a+bi.$$ Una cosa clave a tener en cuenta acerca de esto es que "$\times$" se refiere a un producto directo de conjuntos, es decir, el producto Cartesiano. Esto va a cambiar a medida que agregamos más estructura.
Como verdaderos espacios vectoriales:
Usted puede dar a cada una de las $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$ la estructura de un espacio vectorial real, lo que significa que puede sumar vectores y multiplicar por números reales. A continuación, a partir de la teoría de álgebra lineal, sabemos que $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ tiene una base de $\{(1,0), (0,1)\}$ $\mathbf{C}$ a (real) de $\{1, i\}$. Desde estos espacios vectoriales ambos tienen la dimensión 2, son isomorfos (en el álgebra lineal sentido, es decir, en la categoría de $\mathbf{R}$-módulos). Así que, desde esta perspectiva están de nuevo el mismo objeto.
Tenga en cuenta que $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ puede ser interpretado como $\mathbf{R}\oplus \mathbf{R}$ que puede ser más familiar para álgebra lineal estudiantes. El punto es que ahora se requiere más de la operación (se tiene que preservar la suma de vectores).
Como los anillos:
Aquí es donde la diferencia viene en. Podemos pensar de $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$ como anillos, lo que significa que puede agregar y multiplicar los elementos de acuerdo a algunos axiomas. Entonces, si usted escribe $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$, que significa un producto directo en la categoría de anillos, por lo que ahora la multiplicación en $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ tiene que satisfacer $$(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd).$$ Pero en particular, esto significa que cosas como $$(1,0)\cdot (0,1)=(0,0),$$ lo que significa que es posible que dos cosas distinto de cero para tener un producto cero. En contraste, si $z_1z_2=0$$\mathbf{C}$, entonces cualquiera de las $z_1=0$ o $z_2=0$. De esta manera, $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$ tienen fundamentalmente diferente comportamiento como anillos. Debido a esto, no hay isomorfismo de anillos entre los dos objetos.
Como los campos de:
Un campo es un anillo conmutativo con más estructura (podemos invertir la multiplicación por cero de las cosas). Resulta que $\mathbf{C}$ puede ser, dada la estructura de un campo debido a la $z^{-1}$ existe para cualquier valor distinto de cero $z\in\mathbf{C}$, pero $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ no puede ser un campo, porque ecuaciones como $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ lío todo (intente cancelar algo desde el lado izquierdo).
tl;dr-Usted tiene que especificar lo que entendemos por "$\times$". $\mathbf{C}$ y $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ son exactamente los mismos hasta que empiece diciendo que quiere hacer las cosas como se multiplican los elementos juntos.
Bien $\mathbb{R}^2$ (por defecto) interpretado como un vectorspace. Por lo que normalmente sólo esperar la suma y la multiplicación escalar. Que dan diferentes estructuras algebraicas.
Y quiero agregar algo. Los puntos de $\mathbb{R}^2$ se escriben normalmente como tupels, es decir,$x\in \mathbb{R}^2$$ x=(x_1,x_2)$$x_1,x_2\in \mathbb{R}$.
Los elementos de $\mathbb{C}$ tiene (al menos) 3 formas comunes de denotar.
\begin{align*}
z&=a+i\cdot b \quad a,b\in \mathbb{R}\\
z&=(a,b)\\
z&=|z|\cdot \exp(i\varphi)
\end{align*}
El primero y el segundo aspecto prácticamente el mismo, pero en $\mathbb{C}$ la multiplicación es una función
$$ \mathbb{C} \times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$
mientras que la multiplicación escalar en $\mathbb{R}^2$ es una función
$$ \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$$
Usted puede copiar la estructura de $\mathbb{C}$ y lo puso en $\mathbb{R}^2$, para hacer de él un campo por ejemplo.
Pero por ejemplo el de la diferenciabilidad es diferente en $\mathbb{R}^2$ y en $\mathbb{C}$ es decir, una función es derivable en a $\mathbb{R}^2$ necesitan para cumplir con la de Cauchy Riemann ecuaciones diferenciales complejas diferenciable.
Si deseamos que cada entero tiene una inversa elemento, tenemos que inventar los números racionales y muchas cosas son mucho más simples. Si queremos que toda ecuación polinómica que tiene una raíz, tenemos que extender el real campo de número de $\mathbb{R}$ a un campo más amplio $\mathbb{C}$ de "números complejos", y muchos de los discursos se vuelven más homogéneos. Para la construcción de un número complejo, podemos asociar a cada número real $a$ segundo número real $b$. Un número complejo es, a continuación, un par ordenado de números reales (a,b). Escribimos que el nuevo número de $a+bi$.
Los números complejos contienen las soluciones de todas las ecuaciones polinómicas y, por tanto, son un algebraicamente cerrado de campo a diferencia de los números reales. Los números complejos no son un orden de campo. $\mathbb{C}$ es representado geométricamente mediante la identificación con $\mathbb{R^2}$. (Esto es a veces llamada la Argand'diagrama).
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