Deje$f \in \mathbb{F}_2[T]$ tal que tanto$f$ como$f + 1$ tengan la propiedad de que cada factor irreducible en el dominio de factorización único$\mathbb{F}_2[T]$ aparece con multiplicidad al menos$2$. ¿Sigue que$f$ debe ser el cuadrado de un polinomio? Y si esto es cierto, ¿puede esta afirmación generalizarse?
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user178979
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Creo que la implicación es verdadera:
Escribir $f=\prod\limits_{i=1}^nf_i^{r_i}$ para el irreductible factores de $f_i$$f$$f+1=\prod\limits_{j=1}^m\tilde{f}_j^{s_j}$, respectivamente. Entonces, como en el comentario anterior, uno tiene que $\prod\limits_{i=1}^nf_i^{r_i-1}$ $\prod\limits_{j=1}^m\tilde{f}_j^{s_j-1}$ dividir la derivación $f'=(f+1)'$ y por lo tanto, como $f$ $f+1$ son de primer curso para cada uno de los otros (y por lo tanto $f_i$$\tilde{f}_j$, para todos los $i,j$ y, finalmente, sus productos son primos entre sí) que $$\prod\limits_{i=1}^nf_i^{r_i-1}\cdot \prod\limits_{j=1}^m\tilde{f}_j^{s_j-1}\text{ divides }f'.$$ Como por supuesto de $r_i,s_j\geq 2$ todos los $i,j$ $r_i-1\geq r_i/2$ resp. $s_j-1\geq s_j/2$, el grado de la izquierda, que es $$\sum_{i=1}^n(r_i-1)\text{deg} (f_i)+\sum_{j=1}^m(s_j-1)\text{deg}(\tilde{f}_j)\geq 1/2 \left(\sum_{i=1}^nr_i\text{deg}(f_i)+\sum_{j=1}^ms_j\text{deg}(\tilde{f}_j)\right) =\text{deg} (f)$$ is at least the degree of $f$, a contradiction. The only remaining possibility is $f'=0$, that means $f(T)=g(T^2)$ for some $g\in\mathbb{F}_2[T]$, and thus $f(T)=g(T^2)=g(T)^2$ is a square. Concerning the possibility of generalizations -- the first thing that comes to mind is that one can replace 2 by any prime $p\in\mathbb{N}$ everywhere in the above statement (except of course that the multiplicities of the irreducible factors are still assumed to be at least $2$ (and not $p$)) to get the implication "$f$ is of the form $g^p$" instead of "$f$ es un cuadrado".
Saludos!
Esto se desprende de la Mason--Stothers teorema, que es el polinomio análogo de la $ABC$ conjetura. Necesitamos ser cuidadosos acerca indicando el teorema de la manera que funciona en el carácter $p$, como sigue.
Teorema (Mason, Stothers): Si $k$ es un campo y $a(x)$, $b(x)$, y $c(x)$ son cero polinomios en $k[x]$ tales que (i) $a(x) + b(x) = c(x)$, (ii) $\gcd(a(x),b(x)) = 1$, y (iii) al menos uno de los derivados $a'(x)$, $b'(x)$, o $c'(x)$ no $0$, entonces $$ \max(\gr a(x), \gr b(x), \grados c(x)) \leq \deg({\rm rad}(a(x)b(x)c(x)) - 1. $$
En el carácter $0$ podemos reescribir (iii) en la forma equivalente que al menos uno de $a(x)$, $b(x)$, o $c(x)$ no es constante, pero en característica positiva es más fuerte que decir que al menos uno de los polinomios tiene un valor distinto de cero derivados de decir que al menos uno de los polinomios no es constante.
Corolario: Vamos a $k$ ser un campo con característica positiva. Si $f(x) \in k[x]$ $\alpha \in k^\times$ tienen la propiedad de que todos los factores irreducibles de $f(x)$ $f(x)+\alpha$ tiene multiplicidad, al menos,$2$, $f(x) \in k[x^p]$ donde $p$ es la característica de la $k$.
(Tu pregunta usos $k = {\mathbf F}_2$$\alpha = 1$. Este corolario no sustituye a su $2$ $p$ todas partes: las multiplicidades todavía sólo tiene que tener al menos $2$, incluso cuando se $k$ tiene características de las $p$.)
Prueba: vamos a demostrar por contradicción que $f'(x) = 0$, lo que implica (y de hecho es equivalente a decir) $f(x)$ se encuentra en $k[x^p]$.
Asumiendo $f'(x) \not= 0$, $a(x) = f(x)$, $b(x) = \alpha$, y $c(x) = f(x)+\alpha$. Estos tres polinomios de ajuste de las condiciones de la Mason--Stothers teorema. Por lo tanto $$ \max(\deg f,\deg(f+\alpha)) \leq \deg({\rm rad}(f(f+\alpha))-1. $$ Por lo tanto $$ \deg f + \deg(f + \alpha) \leq 2\deg({\rm rad}(f(f+\alpha))-2. $$
Por la hipótesis de la irreductible factorizations de $f$$f+\alpha$$f = u\pi_1^{e_1}\cdots \pi_r^{e_r}$$f+\alpha = v\widetilde{\pi}_1^{d_1}\cdots \widetilde{\pi}_s^{d_s}$, donde $u, v \in k^\times$, $\pi_i$ y $\widetilde{\pi}_j$ $i$ $j$ son distintos monic irreducibles en $k[x]$, $e_i \geq 2$ para todos los $i$, e $d_j \geq 2$ todos los $j$. En la desigualdad anterior, el lado izquierdo es $$ \sum_i e_i\gr \pi_i + \sum_j d_j\gr \widetilde{\pi}_j \geq 2\left(\sum_i \gr \pi_i + \sum_j \gr \widetilde{\pi}_j\right). $$ A partir de la definición de los radicales y la relativa primalidad de $f$$f+\alpha$, $$ \deg({\rm rad}(f(f+\alpha)) = \sum_i \gr \pi_i + \sum_j \gr \widetilde{\pi}_j. $$ Por lo tanto $$ 2\left(\sum_i \gr \pi_i + \sum_j \gr \widetilde{\pi}_j\right) \leq 2\left(\sum_i \gr \pi_i + \sum_j \gr \widetilde{\pi}_j\right) - 2, $$ lo que implica $0 \leq -2$. Que es una contradicción. Por lo tanto $f'(x) = 0$.
QED
Que la prueba es similar al método utilizado para demostrar catalán de la conjetura en $k[x]$ de la Mason--Stothers teorema, que es como me ocurrió con la anterior prueba.
Corolario: Vamos a $k$ ser un campo finito. Si $f(x) \in k[x]$ $\alpha \in k^\times$ tienen la propiedad de que todos los factores irreducibles de $f(x)$ $f(x)+\alpha$ tiene multiplicidad, al menos,$2$, $f(x)$ $p$th poder en $k[x]$ donde $p$ es la característica de la $k$.
Prueba: Desde $k$ es finito tenemos $k = k^p$, lo $k[x^p] = k[x]^p$. Ahora uso el corolario anterior.
QED
