¿cuál es la diferencia entre consecuencia sintáctica ⊢ y consecuencia semántica ⊨?

Question

¿Pueden ayudarme a diferenciar la consecuencia sintáctica $\vdash$ y consecuencia semántica $\vDash$ ?

Creo que $A \vdash B$ significa: " $A$ prueba $B$ " y $A \vDash B$ significa , si $A$ es cierto, entonces $B$ es cierto.

Si es así, ¿cuál es la diferencia? $A \to B$ y $A\vDash B$ ?

Answer 1

$A \vdash_S B$ significa que hay una derivación, en el sistema de pruebas $S$ , a partir de la premisa $A$ a la conclusión $B$ . [Si el contexto fija el sistema correspondiente $S$ suprimimos el subíndice].

$A \vDash_L B$ significa que en cada interpretación posible del vocabulario no lógico del lenguaje $L$ , si $A$ resulta cierto, también lo es $B$ . [Si el contexto fija el lenguaje relevante $L$ suprimimos el subíndice].

Ambos son metalingüística afirmaciones, la simbología que abrevia el inglés matemático (o el español matemático, o lo que sea), haciendo afirmaciones sobre la relación entre los wffs $A$ y $B$ , mirando desde fuera de su lenguaje formal, por así decirlo.

$A \to B$ por el contrario, es un wff que pertenece al lenguaje de objetos al lenguaje formal del que $A$ y $B$ son wffs (típicamente, pero no siempre, interpretados como expresión del condicional funcional de verdad).

En la interpretación funcional de la verdad, si el atómico wff $p$ resulta ser falsa y el wff atómico $q$ pasa a lo falso también, entonces $p \to q$ se evalúa como verdadero. Pero, por supuesto, no tenemos $p \vDash q$ ( $q$ no es cierto en todas las valoraciones, lo que hace que $p$ verdadero).

Y así es ......

[Oh, parece que ya he dicho lo mismo antes, con palabras ligeramente diferentes, en Implica vs. Implica vs. Prueba Así que compruébalo también para ver si eso también ayuda].