Pregunta sobre un ejercicio en Revuz / Yor

Question

Estoy resolviendo el ejercicio 2.28 en Revuz/Yor. Yo era capaz de demostrar 1). Por desgracia, en la 2) me quedé atrapado. Tengo que mostrar:

Deje $B$ un d-dimensional, el movimiento Browniano y el $A\in \mathcal{A}:=\cap_t \mathcal{A}_t$ donde $\mathcal{A}_t:=\sigma(B_s;s\ge t)$. Para cualquier fija $t$, hay un evento de $B\in \mathcal{A}$ tal que $\mathbf1_{A}=\mathbf1_B\circ \theta_t$, ($\theta$ es el operador de desplazamiento a), entonces $$P_x[A]=\int P_y(B)P_t(x,dy)$$ y a la conclusión de que cualquiera de las $P_\cdot[A]=0$ o $P_\cdot[A]=1$.

Hice lo siguiente:

Por la Proposición 1.7 (Propiedad de Markov) que obtengo:

$$E_x[\mathbf1_B\circ \theta_t|\mathcal{F}_t^0] =E_{B_t}[\mathbf1_B]$$

Así la integración de la LHS, obtenemos:

$$E_x[E_x[\mathbf1_B\circ \theta_t|\mathcal{F}_t^0]]=E_x[\mathbf1_A]=P_x[A]$$

Por lo tanto, he terminado con la primera parte, si

$$E_x[E_{B_t}[\mathbf1_B]]=\int P_y(B)P_t(x,dy)$$

Mi problema es que no veo por qué esto es cierto. Sería muy bueno si alguien podría decirme, ¿por qué esta ecuación es verdadera. Corro siempre en problemas con el uso regular de la probabilidad condicional. También algunas pistas para la segunda instrucción se agradece. Estoy muy agradecido por su ayuda.

saludos

matemáticas

Answer 1

Defina la función$\phi(y)=E_y[\mathbf 1_B]$, es decir,$\phi(y)=P_y(B)$. Entonces$E_{B_t}[\mathbf 1_B]$ es la variable aleatoria$\phi(B_t)$. El valor esperado de esta variable aleatoria se puede expresar en términos de la distribución$\nu$ de$B_t$ mediante$$E(\phi(B_t))=\int \phi(y)\, \nu(dy).\tag1$$ Under $ E_x$, the distribution of $ B_t$ is $ \ nu (dy) = P_t (x, dy) $, por lo que al volver a introducir en (1) se obtiene$$ E_x(E_{B_t}[\mathbf 1_B])=E(\phi(B_t))=\int P_y(B)\, P_t(x,dy). $ $

Answer 2

Ustedes están comenzando a partir de $x$, no de $0$, así que lo que escribió acerca de $E_x(\mathbf1(B)\circ \theta_t|\mathcal F^0_t)$ es un poco confuso.Para aclarar la expresión, es mejor escribir como $E(\mathbf1(B)\circ \theta_t|\mathcal F^x_t)$. Y la ecuación se pueden establecer más claramente:en primer lugar,gracias a la fortaleza de la propiedad de markov, $$E(\mathbf1(B)\circ \theta_t|\mathcal F^x_t)=E(\mathbf1(B)\circ \theta_t| B^x_t) $$ which is the conditional probability of $B$ under the law of Brownian motion evaluated at time $t$ along with the starting point $x$.

Y, a continuación, calcular la expectativa de las anteriores para lograr la probabilidad, que es igual a

$$E(E(\mathbf1(B)\circ \theta_t| B^x_t))=\int P_y(B) P_t(x,dy)$$ Posteriormente, la declaración sostiene. Esta pregunta se desea usted para confirmar cero uno-la ley en virtud de cualquier punto de partida del movimiento Browniano.