¿plano cúbico con una singularidad debe tener morfismo no constantes de $\mathbb{P}^1$?

Question

Si $C$ es un plano proyectivo de la curva que se define por una irreductible homogénea polinomio cúbico y tiene una singularidad, ¿por qué debe ser un no constante de morfismos $\mathbb{P}^1\rightarrow C$?

(No estoy seguro de si $C$ se supone que tiene exactamente una singularidad; es el resultado sigue siendo cierto si tiene más de uno?)

Creo que la prueba debe ser algo como esto:

deje $\alpha$ ser el mapa de proyección a partir de una singularidad $P$ $C$ a $\mathbb{P}^1$. Este es un racional mapa de grado 1 (por qué?), por lo que tiene una inversa racional mapa de $\alpha^{-1}$ $\mathbb{P}^1$ $C$(por qué?), que debe ser una de morfismos desde $\mathbb{P}^1$ es suave.

Pero hay dos puntos que no pueden probar! Si decidimos de coordenadas de modo que $P=[0:0:1]$,$\alpha([x:y:z])=[x:y]$, lo $\alpha$ dominio $C\backslash\{P\}$, y su grado es la suma de la ramificación de los índices y, por tanto, en la mayoría de los 3; pero ¿por qué tiene que ser 1? Entonces se da una racional mapa de grado 1 entre dos curvas proyectivas, ¿por qué necesita tener una bien definida la inversa?

Muchas gracias por cualquier ayuda con esto!

Answer 1

Su racional mapa en efecto los proyectos de $C$ a la línea en el infinito $z=0$$\mathbb P^2$.
Tiene grado uno, porque les da un punto en el infinito $A$ la línea de $AP$ recortes $C$ en exactamente un punto distinto de la $P$, para todos, pero en la mayoría de los tres valores de $A$.
A la inversa racional mapa de $\alpha^{-1}$ es de hecho definido en todas partes desde la línea en el infinito es suave.
Por lo $\alpha^{-1}\colon \mathbb P^1\to C$ es una normalización de las $C$.
En cuanto a tu última pregunta, un birational mapa no necesitan tener la inversa de una morfismos: $\alpha^{-1}$ proporciona un contraejemplo.
Y finalmente, como una respuesta a su parenthatical comentario, sí cúbico sólo puede tener una singularidad.
Más de la línea que une dos singularidades reduciría en al menos cuatro puntos, contradiciendo de Bézout.