¿Ayuda a calcular el $\int_C e^{-1/z}\sin(1/z)dz$ sobre el círculo de la unidad?

Question

He encontrado la integral $$ \int_C e^{-1/z}\sin(1/z)dz $$ sobre el circulo $|z|=1$ mientras que hace algunos problemas en Schaum del Esquema de Variables Complejas.

Esta integral me tiene perplejo. La respuesta es $2\pi i$, pero no puedo ver por qué. No hay polos, por lo que creo que no se puede aplicar el teorema de los residuos. Reparametrizing con $z=e^{it}$ $t\in(0,2\pi)$ se ve muy desordenado.

Cómo puede esta integral se acercó? Traté de encontrar la serie de Taylor, y los primeros términos son $$ -\frac{1}{2z^2}-\frac{2}{3!z^3}-\cdots $$ por lo $0$ se ve como una singularidad esencial, pero no sé si eso es útil.

Answer 1

Con un cambio de variables $z\mapsto\frac1z$ $$ \begin{align} \int_Ce^{-1/z}\sin(1/z)\,\mathrm{d}z &=\int_Ce^{-z}\sin(z)\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\ &=\int_C\left(\frac1z-1+\frac{z}{3}+\dots\right)\,\mathrm{d}z\ &=2\pi i \end {Alinee el} Nota de $$ que el cambio de variables invierte la dirección de la ruta.

Answer 2

A mi de la serie de Laurent centrada en $z=0$ $ e^{-1/z}\sin(1/z)$ no está de acuerdo con la suya: yo lo tengo como el producto $\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^i}{i!z^{i}}$ $\times$ $\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^j}{(2j+1)!z^{2j+1}}$. La única $z^{-1}$ plazo de mi producto surge cuando $j=0$$i=0$, y es igual a $\dfrac{1}{z}$, donde parece que no tienen trivial término de ese orden. Creo que la mía es la correcta, pero tal vez deberíamos tanto comprobar nuestros cálculos?

De hecho, el teorema de los residuos es lo suficientemente fuerte como para aplicar en este caso; $ e^{-1/z}\sin(1/z)$ no tiene polos y sólo una singularidad esencial en a $z=0$, por lo que nuestra función es la de holomorphic en el complemento de un número finito de puntos en C, la unidad de círculo centrado en el origen. Como resultado, se puede calcular un residuo en $z=0$ anterior y aplicar el teorema de los residuos, la cual nos dice que nuestra integral es $2 \pi i$.