La pregunta de Jonás me hace preguntarme: ¿Qué pasa con la uniformización en la geometría algebraica/aritmética? Por ejemplo este artículo de Faltings parece ser sobre eso, la declaración de Shimura-Taniyama también, Mochizuki discute una versión p-ádica de la uniformización fucsiana de las curvas hiperbólicas. ¿Conoces estudios o exposiciones del tema? ¿O la "uniformización" es un concepto erróneo en el contexto de la geometría aritmética (un comentario en el artículo de Faltings suena como si dijera eso)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es de suponer que se quiere buscar uniformizaciones de curvas, ya que las expansiones dificultan la clasificación de las cubiertas de las variedades de mayor dimensión. Teóricamente, no parece haber una buena noción de uniformización, pero se pueden obtener buenos resultados aritméticos utilizando la analítica.
Ya ha mencionado un par de referencias. Para el punto de vista complejo-analítico, creo que cualquier libro sobre formas modulares (por ejemplo, Shimura) debería tener algún tratamiento. El trabajo de Mochizuki en el entorno no arquimédico tiene una contrapartida en el caso de las curvas de Mumford máximamente degeneradas. Hay un libro de Gekeler y van der Put sobre las uniformizaciones de éstas (utilizando esencialmente el edificio de Bruhat-Tits para SL 2 ). Creo que Darmon y Dasgupta han hecho algunos trabajos aritméticos utilizando esta uniformización de "medio plano superior". Históricamente se origina en el trabajo de Tate alrededor de 1960 sobre espacios analíticos rígidos (aparentemente, Grothendieck expresó sus dudas de que tal teoría existiera).
