¿Por qué se pierden propiedades en la construcción Cayley-Dickson?

Question

Pregunta motivadora : ¿Qué hay más allá de los Sedenions?

Sé que se puede construir una jerarquía de sistemas numéricos mediante el proceso Cayley-Dickson:

$$\mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H} \subset \mathbb{O} \subset \mathbb{S} \subset \ldots$$

"Reales" $\subset$ "Complejo" $\subset$ "Cuaterniones" $\subset$ "Octonions" $\subset$ "Sedenions" $\subset$ $\ldots$

y que en cada paso te dan una tabla de multiplicación que dice cómo interactúan los elementos. A medida que se asciende en la escala, se pierden ciertas propiedades "agradables": ordenación, conmutatividad, asociatividad, normalidad multiplicativa, etc. Dada la tabla de multiplicación, puedes demostrar que estas propiedades no se mantienen.

Eric Naslund señaló que "las 4 primeras son muy especiales ya que son las 4 únicas álgebras de división normada sobre ", no es de extrañar entonces que estas $2^n$ -iones han encontrado bastante uso. Sin embargo, me interesa la secuencia en sí misma, independientemente de la utilidad de un $2^{256}$ -ion puede ser ( ducenti-quinquaginta-sex-ion ?).

Sin embargo, siento que aquí está ocurriendo algo más profundo que no entiendo. ¿Por qué se pierden estas propiedades particulares en cada paso? ¿Es posible cuantificar el proceso de manera que, al $2^n$ -¿Puedes decir algo sobre la simetría de la tabla de multiplicar*?

* Estoy haciendo un ansatz de que hay una conexión entre la simetría de la tabla de multiplicar y estas propiedades "bonitas".

Answer 1

Existen ocho definiciones equivalentes del producto Cayley-Dickson de pares ordenados, pero una de las más utilizadas es $(a,b)(c,d)=(ac-db^*,a^*d+cb)$ donde el conjugado (para las ocho variaciones) se define como $(a,b)^*=(a^*,-b)$ .

Los vectores base unitarios $e_0,e_1,e_2,\cdots$ para todos los vectores Cayley-Dickson de dimensión finita puede definirse de varias maneras, pero para preservar la simetría inherente a la tabla de multiplicación, la forma más natural de definir la secuencia es $e_{2n}=(e_n,0)$ y $e_{2n+1}=(0,e_n)$ para $n\ge0$ . Obsérvese que esto produce una numeración diferente de la numeración habitual de los vectores base del Octonion tal y como la utilizan los especialistas en Octonion y, que como resultado, su tabla de multiplicación no revela la simetría inherente al proceso.

Además de revelar la simetría del proceso Cayley-Dickson, esta numeración de los vectores base tiene la ventaja añadida de que para todos los enteros no negativos $i,j$ es cierto que $e_ie_j=\pm e_k$ donde $k$ es el "o exclusivo" a nivel de bits de las representaciones binarias de $i$ y $j$ .

Utilizando esta numeración de los vectores base, la tabla de multiplicación de cualquier espacio de Cayley-Dickson de dimensión finita puede recuperarse a partir de las siguientes propiedades:

1. $e_1e_{2n}=e_{2n+1}$ para todos $n\ge0$ .
2. Si $0\ne i\ne j\ne 0$ entonces $e_ie_j=e_k$ implica todo lo siguiente:
   1. $i\ne k$
   2. $j\ne k$
   3. $k\ne 0$
   4. $e_je_i=-e_k$
   5. $e_je_k=e_i$ (estas dos últimas son las propiedades del cuaternión)
   6. $e_{2i}e_{2j}=e_{2k}$
   7. $e_{2i}e_{2j+1}=e_{2k+1}$
   8. $e_{2i+1}e_{2j}=e_{2k+1}$
   9. $e_{2j+1}e_{2i+1}=e_{2k}$ (nótese la inversión de $i$ y $j$ )

Para cuatro de las otras siete formas alternativas de definir el producto Cayley-Dickson, la propiedad 1 difiere, y para las siete, algunas de las reglas 2.7, 2.8 y 2.9 difieren.

Ahora bien, si la simetría de las tablas de multiplicar explica la pérdida de propiedades, no lo sé, pero podría ser un tema interesante para que alguien investigue.

Puede encontrar más información y enlaces a mis investigaciones en mi página web http://jwbales.us/

Answer 2

La utilidad de un álgebra no está determinada por las simetrías de la tabla de multiplicar. Además, no hay obstáculos para producir álgebras asociativas (e incluso conmutativas) de dimensión arbitraria y no necesitamos la construcción de Cayley-Dickson para ello. Sin embargo, un álgebra asociativa construida de forma rudimentaria tiene grandes posibilidades de encontrarse con divisores nulos. A su vez, podría indicar que no tenemos nada nuevo y que el álgebra es isomorfa a algo aburrido. Una opción es el anillo de n × n matrices sobre el campo de tierra. El anillo de matrices reales 2×2 tiene, por ejemplo, un nombre alternativo: split-quaternions . ¿Cuántos lectores han oído hablar de ella antes? Casi cualquier persona conoce términos como números complejos y cuaterniones, que no son "simplemente" anillos de matrices reales, pero sólo los aficionados a los hipercomplejos quieren inventar términos especiales para las matrices cuadradas, aunque su "tabla de multiplicar" es muy simétrico.

Otra posibilidad es "encontrar" una suma directa de ciertas álgebras de menor dimensionalidad (véase, por ejemplo, este drama en inglés Wikipedia ). Sólo los maniáticos se empeñan en descubrir objetos reducibles y asignarles nombres. Los matemáticos, por supuesto, los utilizan a veces, pero teniendo en cuenta que son reducibles.

¿Por qué es famosa la construcción Cayley-Dickson? Es una heurística que se ha demostrado que descubrir algo nuevo en sus 3 primeros pasos, y evitar felizmente los divisores cero. La primera vez hizo el único campo de extensión finito-dimensional posible de . La segunda vez hizo el único campo sesgado finito-dimensional restante. La tercera vez descubrió el único álgebra de división de 8 dimensiones. No hay que preguntarse por qué se degradan las álgebras, porque la oferta de buenas álgebras es muy limitada. Habría que preguntarse cómo la formulación moderna de la "construcción Cayley-Dickson" toma las precauciones necesarias para que esta inevitable degradación sea graciosa en cada paso. Los puntos clave son:

• La identidad multiplicativa se mantiene siempre;
• La conmutatividad se mantiene, dado que * = id en el anillo original;
• La asociatividad se conserva, dado un anillo original conmutativo;
• A partir de un *-anillo que satisface ciertas condiciones hace un álgebra alternativa.

¿Podemos engañar a la construcción? Bueno dale, por ejemplo, con idéntico "*" en lugar de la conjugación compleja. Se obtendrá un álgebra conmutativa sobre , pero sin división, porque no hay álgebras complejas de división finita (sino ); sólo hay real los. Tenga en cuenta que hay no hay fundamentos algebraicos generales para la ausencia de divisores cero. Tuvimos suerte de avanzar tanto, cuando empezamos desde , sin correr en él.