Estoy tratando de encontrar el Grupo de Galois de $f(x)=x^4 + x^2 - 12$ sobre $\mathbb{Q}$. Pude demostrar que los factores $f(x)=(x^2-3)(x^2+4)$ son irreducibles sobre $\mathbb{Q}$ y que el campo de descomposición $E$ de $f(x)$ sobre $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$. Dado que la base del campo de extensión es $\beta$={$1,\sqrt{3},i,\sqrt{3}i$} que tiene 4 elementos, sé que $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ tendrá 4 automorfismos. Mi afirmación es que los automorfismos se definirán como:
(i) $\mu$: $i \rightarrow i$, $\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3$}.
(ii) $\tau$: $i \rightarrow i$, $\sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3}$
(iii) $\sigma$: $i \rightarrow -i$, $\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3}$
(iv) $\tau\sigma$: $i \rightarrow -i$, $\sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3}$
Mi pregunta es si $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$={$\mu, \tau, \sigma, \tau\sigma$} es el Grupo de Galois correcto. Además, en la base de la extensión tengo $\sqrt{3}i$ como un elemento pero no he definido un automorfismo para ese elemento, es decir:
$\rho$: $\sqrt{3}i \rightarrow \sqrt{3}i$, $\sqrt{3}i \rightarrow -\sqrt{3}i$.
¿Esa asignación ya está cubierta en los 4 que ya tengo?
Gracias por tu ayuda.
