$\sum a_n$ converge iff $\sum \frac{a_n}{1+a_n}$ converge.

Question

Esta es una modificación de un problema en Rudin.

Deje $(a_n)$ ser una secuencia de números positivos (es $a_n \geq 0)$. A continuación, $\sum a_n$ converge iff $\sum \frac{a_n}{1+a_n}$ converge.

Mi intento:

$\Rightarrow$ $$\frac{a_n}{1+a_n} \leq a_n$$ y esto se deduce de la comparación de la prueba.

$\Leftarrow$

Desde $$a_n = \frac{a_n}{1+a_n} (1+a_n) = \frac{a_n}{1+a_n} + \frac{a_n^2}{1+a_n}$$

esto es suficiente para mostrar que $\sum \frac{a_n^2}{1+a_n}$ converge. Para esto, es suficiente para mostrar que $(a_n)$ es acotado, porque entonces el resultado se sigue de la prueba de comparación. De hecho, vamos a $M$ ser un límite superior. Entonces

$$\frac{a_n^2}{1+a_n} \leq \frac{Ma_n}{1+a_n}$$

Vamos a probar que $a_n \to 0$, y esto será el acotamiento.

Deje $\epsilon > 0$. Elija $N$ tal que $\frac{a_n}{1+a_n} < \frac{\epsilon}{1+ \epsilon}$$n \geq N$, lo cual es posible desde la $\frac{a_n}{1+a_n} \to 0$ desde que la serie converge.

A continuación, $n \geq N$ implica que el $a_n < \epsilon$ y el resultado de la siguiente manera.

Es esto correcto? Hay una manera más fácil?

Answer 1

La prueba parece muy bien, tal vez para la segunda implicación, podemos simplemente observamos que, desde $a_n \to 0$ % eventualmente $a_n

Como una manera más fácil, suponiendo que $a_n \to 0$ (de lo contrario ambos no convergen), podemos utilizar la prueba de comparación límite y desde

$$\frac{a_n}{\left(\frac{a_n}{1+a_n}\right)}=1+a_n \to 1$$

Concluimos que $\sum a_n$ $\iff \sum \frac{a_n}{1+a_n}$ de converge converge.

Answer 2

Demanda. Si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{1+a_n}$ converge entonces $a_n\to 0$.

[Si he entendido bien, este fue el punto sólo sutil. El resto de la prueba estaba perfectamente claro].

Prueba de la demanda. Si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{1+an}$ converge, entonces $\sum{n=1}^{\infty} \left(\frac{1+a_n}{1+a_n}-\frac{1}{1+an}\right)$ converge, por lo que $\sum{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{1}{1+a_n}\right)$ converge. Por el término de $n$-th de la prueba, debe converger la secuencia $1-\frac{1}{1+a_n}$ $0$. Así, $\frac{1}{1+a_n}\to 1$ $n\to\infty$. Desde aquí es fácil ver que $1+a_n \to 1$% y tan $a_n\to 0$$n\to\infty$.

Answer 3

Asumir $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_n}$ converge.

Reivindicamos que $a_n \to 0$. Que $0

$$a_n

Ahora escoja $M > 0$ tal que $1+a_n \le M, \forall n\in\mathbb{N}$.

Tenemos

$$\sum_{n=1}^\infty an \le \sum{n=1}^\infty \frac{Ma_n}{1+a_n}$$

que converge para que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge también por el test de comparación.