He aprendido este criterio para la irreductibilidad de los polinomios:
Deje $R$ integrante de dominio, vamos a $I$ será un verdadero ideal de la $R$, y deje $p(x)$ ser un no-constante monic polinomio en $R[x]$. Si la imagen de $p(x)$ es irreducible en a $(R/ I)[x]$ bajo la natural homomorphism, a continuación, $p(x)$ es irreducible en a $R[x]$.
Ahora el polinomio $xy+x+y+1 = (x+1)(y+1)$ es reducible en $\mathbb{Z}[x, y] = (\mathbb{Z}[y])[x]$. Tome $R = \mathbb{Z}[y]$$I = (y)$. A continuación, la imagen de $xy+x+y+1$$(\mathbb{Z}[y]/(y))[x]$$x+1$, que es irreducible porque $\mathbb{Z}[y]/(y) \cong \mathbb{Z}$ $x+1$ es irreducible en a $\mathbb{Z}[x]$. ¿Por qué este criterio parece que no funciona en esta situación?
Edit: Prueba del criterio
Vamos a comprobar el contrapositivo. Supongamos $p(x)$ es reducible, $p(x) = a(x)b(x)$. Desde $p(x)$ es monic, $a(x)$ $b(x)$ no son constantes y monic. Así, cuando se reducen los coeficientes $\pmod I$ obtener una factorización en $(R/I)[x]$.
