Explicación de la prueba del lema de Farkas

Question

He estado estudiando la demostración de la siguiente variante del lema de Farkas:

Un sistema de ecuaciones lineales $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ en $d$ tiene solución si para todas las variables $\mathbf{\lambda} \in \mathbb{R}^d, \lambda^T A = \mathbf{0}^T$ implica $\lambda^T \mathbf{b} = 0$ .

Para la dirección $\Rightarrow$ la prueba es fácil: Supongamos que $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tiene una solución $\bar{\mathbf{x}}$ . Entonces $\lambda^T A = \mathbf{0}^T \Rightarrow \lambda^TA\bar{\mathbf{x}}=\lambda^{T}\mathbf{b}=0$

Para la otra dirección la prueba que dan las notas procede como sigue:

La implicación $\lambda^TA= \mathbf{0}^T \Rightarrow \lambda^T\mathbf{b}=0$ significa que ambas matrices $A \in \mathbb{R}^{n\times d}$ y $(A|\mathbf{b}) \in \mathbb{R}^{n\times (d+1)}$ tienen las mismas dependencias lineales entre sus filas, por lo tanto el mismo rango de fila, lo que significa que tienen el mismo rango de columna. Esto significa que $\mathbf{b}$ es una combinación lineal de las columnas de $A$ lo que implica que $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tiene una solución.

Lo que me falta en la segunda parte de la demostración es cómo la afirmación de partida significa que ambas matrices tienen las mismas dependencias lineales entre sus filas. ¿Alguien puede dar una explicación intuitiva?

Answer 1

La ecuación $\lambda^TA= \mathbf{0}^T$ es una afirmación de que una determinada combinación lineal de las filas de $A$ es $0$ . Que las filas de $A$ sea $A_1,A_2,\dots,A_n,$ y supongamos que $\lambda_1A_1+\dots+\lambda_nA_n=\mathbf{0}^T$ Entonces, si $\lambda^T=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ tenemos $\lambda^TA= \mathbf{0}^T.$

Bajo la hipótesis de que $\lambda^TA= \mathbf{0}^T \Rightarrow \lambda^T\mathbf{b}=0,\ (A|\mathbf{b})$ tendrá las mismas dependencias lineales que $A$ .