Una bolsa contiene 3 canicas blancas, 4 negras y 2 rojas. Se extraen dos canicas de la bolsa. Si no se permite el reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo mármol dibujado sea rojo?
No estoy de acuerdo con la respuesta dada$\frac29$. ¿Puede alguien señalar por qué mi solución es incorrecta?
P (Ambos rojos) + P (El segundo es rojo):
P (Ambos rojos)$=\frac{\binom22}{\binom92}$
P (el segundo es rojo)$=\frac{\binom71\binom21}{\binom92}$
Esto resulta ser$\frac5{12}$.
1) Su argumento es erróneo ya que usted tiene más-contó el caso de que la segunda canica es roja.
$P(2nd\, is\, R) = P(both\, are\, R) + P(1st\, is\, not\, R\, and\, 2nd\, is\, R)$
$P(both\, are\, R) = \frac{2}{9}\frac{1}{8} = \frac{2}{72}$
$P(1st\, is\, not\, R\, and\, 2nd\, is\, R) = \frac{7}{9}\frac{2}{8} = \frac{14}{72}$
Por lo tanto:
$P(2nd\, is\, R) = \frac{2}{72} + \frac{14}{72} = \frac{16}{72} = \frac{2}{9}$
2) Por la simetría del problema puede decir inmediatamente que la solución es $\frac{2}{9}$.
El problema es el mismo que tiene 9 bolas (3A, 4B, 2R). Los arreglos de forma aleatoria en una línea. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola es R? La probabilidad de que la segunda bola es R es igual a la probabilidad de que la pelota es R (basta pensar en intercambiar la posición de la segunda bola a cualquier otra bola - tienen igualdad de oportunidad). Y la probabilidad de que la bola es de R es $\frac{2}{9}$ (basta pensar en la primera bola elegido tienen 2 de los 9 oportunidad de estar en Rojo y, a continuación, intercambiar la posición de la primera bola a ninguno en particular de la bola).
Ha contado en exceso los casos en que solo el segundo mármol dibujado es rojo.
La respuesta correcta se puede derivar simplemente al señalar que el sorteo aquí es equivalente a elegir los dos primeros objetos en una permutación aleatoria de los mármoles, donde cualquier posición específica tiene una probabilidad$\frac29$ de ser roja.
Debería ser obvio, sin ningún cálculo, que la respuesta es $2/9$.
Hay 9 canicas. Uno de ellos será el afortunado que es la segunda para ser recogidos. El problema es simétrica, las canicas son idénticos a los fines de azar dibujo de ellos, así que no hay razón de que uno de ellos será más probable que los demás para ser el afortunado de mármol.
Para que todos tengan la misma oportunidad de ser elegido segundo (igual que todos tengan la misma oportunidad de ser elegido primer o quinto, o la última). Hay 9 de ellos, así que cada uno tiene una probabilidad de $1/9$. Dos de ellos son de color rojo, por lo que la probabilidad de que la segunda canica sea roja es $2/9$.
Meditemos en esto. La de arriba es la manera correcta de resolver el problema. Saltar sin pensar en huelga cálculos es a menudo un síntoma de una mala comprensión del problema.
Pero si usted insiste en algunos cálculos innecesarios, también se puede resolver mediante acondicionado en el primer mármol escogido.
Hay dos mutuamente exclusivos escenarios:
La primera canica es roja (ocurre con una probabilidad de $2/9$). Dado esto, la probabilidad de que la segunda canica roja es $1/8$ (ya que no es uno de mármol rojo de la izquierda, de 8).
La primera de mármol no es rojo (ocurre con una probabilidad de $7/9$). Dado esto, la probabilidad de que la segunda canica roja es $2/8$.
Por lo que el total de la probabilidad de que la segunda canica sea roja es $\frac29\cdot\frac18+\frac79\cdot\frac28=\frac2{72}+\frac{14}{72}=\frac{16}{72}=\frac29$.
En cuanto a por qué su solución está mal - sólo puedo directa a la pregunta de nuevo y preguntar, ¿por qué crees que es justo?
Para obtener la intuición en este:
supongamos que hay $9$ puntos marcados con los números de $1,2,\dots,9$.
Al azar en cada punto de mármol en que se coloca.
¿Cuál es la probabilidad de que en el spot $2$ mármol rojo es colocado?
$\frac29$ del curso, ya que hay $9$ equiprobables candidatos para spot $2$ y exactamente $2$ de ellos son de color rojo.
Dibujo sin reemplazo puede ser interpretado como este.
Si sólo dibujar $2$ de la $9$ a las canicas, a continuación, haga exactamente lo mismo, pero sólo spots $1$ $2$ son tomadas en cuenta.
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