¿Todas las funciones continuas están acotadas o todas las funciones continuas alcanzan un máximo?

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico infinito que satisfaga H1 o H2 o ambos.

H1: (Todas las funciones continuas sobre X a $\mathbb{R}$ están acotados).
Si $f: X\to\mathbb{R}$ es continua en $X$ entonces $f(x)$ está acotado.

H2: (Todas las funciones continuas sobre $X$ a $\mathbb{R}$ alcanzar un máximo).
Si $f: X\to\mathbb{R}$ es continua en $X$ entonces existe al menos un punto $p \in X $ tal que $f(p) \geq f(x)$ por cada $x \in X. $

Pregunta
¿Sólo H1 o sólo H2 implica $X$ ¿es compacto? ¿Implican H1 y H2 juntos $X$ ¿es compacto?

Nota:
Sé que " Si $X$ es compacta, entonces todas las funciones continuas sobre $X$ a $\mathbb{R}$ están acotados " y " Si $X$ es compacta, entonces todas las funciones continuas sobre $X$ a $\mathbb{R}$ alcanzar un máximo ". Sólo tengo curiosidad por saber si lo contrario sigue siendo válido.

Answer 1

Las propiedades H1 y H2 se definen para espacios topológicos arbitrarios $X$ . Si $X$ satisface H1, se llama pseudocompacto . Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudocompact_space .

Claramente H2 implica H1. Lo contrario es válido para los espacios de Tychonoff (= espacios completamente regulares). Véase el teorema 27 en

Hewitt, Edwin. "Anillos de funciones continuas de valor real. I." Transactions of the American Mathematical Society 64.1 (1948): 45-99

El teorema 30 de este trabajo afirma que un espacio normal es pseudocompacto si y sólo si es compacto.

Esto da una respuesta completa a su pregunta.

Answer 2

H1 $\Longrightarrow (X$ es compacto).

Supongamos que $X$ no es compacto. Entonces hay una secuencia $x_n \in X$ con ninguna subsecuencia que converja en $X$ . (Para un espacio métrico, "compacto" y "secuencialmente compacto" son equivalentes.) Tomando una subsecuencia, podemos suponer WLOG que todos $x_n$ son distintos. El conjunto $E= \{x_n : n \in \mathbb N\}$ está cerrado en $X$ . El conjunto $E$ tiene la topología discreta. La función no limitada $x_n \mapsto n$ es por tanto continua en $E$ . Una función continua de valor real en un subconjunto cerrado de un espacio métrico se extiende a una función continua de valor real en todo el espacio. Será una función continua no limitada sobre $X$ .

Como se ha señalado, H2 $\Longrightarrow$ H1 es fácil, por lo que también obtenemos H2 $\Longrightarrow (X$ es compacto).

[Supongo que esto se sabía para los espacios métricos mucho antes del gran artículo de Hewitt en 1948; y la esencia del artículo de Hewitt era explorar lo que ocurre en los espacios no métricos].