$n$ Los números reales alrededor del círculo y entre cualquier 3 consecutivos uno es AM de los otros dos. Entonces todos los números son el mismo o $3\mid n$.

Question

Hay $n$ números reales alrededor del círculo y entre cualquier período de 3 uno es la media aritmética de los otros dos. Demostrar que todos los números son iguales o $3\mid n$.

Sugerencia fue la de utilizar un álgebra lineal.

---

Obviamente, que si entre algunos de los tres números consecutivos algunos de los dos son la misma, entonces todos los tres son el mismo: Decir que hemos $$(a,a,b)\implies b ={a+a\over 2}= a\;\;\;{\rm or}\;\;\;a ={a+b\over 2} \implies a=b$$
Pero entonces todos los números son iguales. Así, podemos asumir que entre cualquier período de 3 no son todos diferentes.

De cualquier manera, si todo el número se $a_1,a_2,....,a_n$, para cualquiera de las tres consecutivos (inidices están modulo $n$) tenemos a $$a_{i-1}+a_i+a_{i+1} \equiv_3 0$$

Answer 1

El problema puede resolverse de un modo elemental.

Deje ${\bf x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ser el dado cíclica de la secuencia de números y ${\bf d}$ la secuencia cíclica de sus primeras diferencias $d_k:=x_{k+1}-x_k$. La condición básica en la secuencia de ${\bf x}$ implica entonces $$d_k=h\quad\Rightarrow \quad d_{k+1}\in\left\{h,-{h\over2},-2h\right\}\qquad\forall\> k\in[n]\ .$$ De ello se desprende que hay un $h\in{\mathbb R}$ tal que $$d_k=\pm 2^{j_k}h,\quad j_k\in{\mathbb Z},\qquad\forall\,k\in[n]\ .$$ If $h=0$ all $x_k$ are equal. If $h\ne0$ then after multiplying ${\bf x}$, hence ${\bf d}$, with a suitable constant we may assume that the $d_k$ of smallest absolute value is $=1$. Entonces sabemos que $$d_k\in\bigl\{1,-2,4,-8,16,-32,\ldots\bigr\}\ .$$ Ahora $\sum_{k=1}^n d_k=0$, por lo tanto, esta suma es divisible por $3$. Pero todos los $d_k$ han resto $1$ mod $3$, por lo tanto $n$ tiene que ser divisible por $3$.

Answer 2

Esta pregunta tiene mucho en común con Probar que los elementos de X tienen la misma importancia:

• Fue originalmente destinado a ser resuelto utilizando álgebra lineal.
• Alguien cree equivocadamente que los números enteros.
• Cristiano Blatter señaló el error.
• La respuesta puede ser salvado por la reducción en el entero caso.

Básicamente puedes aplicar el mismo razonamiento que en mi respuesta a esa pregunta:

Asumir que los elementos no son todos iguales. La escala por un factor suficientemente grande como para que su más cercano enteros no son todos iguales. Ahora se aplican simultáneamente la versión de Dirichlet del teorema de aproximación para encontrar un entero $q$ multiplicar por, de tal manera que los números resultantes todos difieren en menos de $\frac14$ desde el entero más cercano. Estos rescalings preservar la premisa. Desde $4$ diferencias de la estación de enteros menos que $1$, la media aritmética-media condición de $a+b=2c$ en la premisa también debe tener por el más cercano enteros, que son, por construcción, no todas de la misma. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que el reclamo de los enteros, como Ross ha hecho (eliminado respuesta, que espero que él va a recuperar al ver esto).

Answer 3

Reducir todos los números de $\bmod 3$. La propiedad de que ninguno de los tres números vecinos pueden estar dispuestos a ser en AP se conserva. Si hay dos valores diferentes uno junto al otro el valor de las agujas del reloj debe ser el tercer residuo para hacer la AP de trabajo. Por lo tanto, debemos tener el círculo se $a,b,c,a,b,c,\ldots c$ la asignación de un residuo de cada carta, de manera que cuando se cierra encontramos la AP requisito, por lo que el número de términos es un múltiplo de a $3$.

Si no hay dos valores diferentes, uno al lado del otro todos los números son equivalentes $\bmod 3$. Restar fuera el residuo y todos los números múltiplos de $3$. Dividir por $3$ y repetir el argumento. Si los números no son todo lo mismo, no es un múltiplo de a $3$ de ellos. Si los números son todos de la misma $\bmod 3$, restar el residuo y la división por $3$. Después de bastante restas y divisiones, si usted no encuentra una diferencia todos los números se $0$ y todos los números de iniciado el mismo.