Si $E$ es un espacio vectorial infinito, cómo interpretar $\sum_{i}x_ie_i$ ?

Question

• Dejemos que $E$ un espacio vectorial de dimensión infinita y que $(e_i)_{i\mathbb N}$ una base. Cómo se interpreta $$\sum_{i\in\mathbb N}x_ie_i \ \ ?$$

• Supongamos ahora que $E$ es un espacio de Banach con norma $\|\cdot \|$ . Supongo que $$\sum_{i\in\mathbb N}x_ie_i=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^n x_ie_i,$$ en el $\|\cdot \|$ sentido, es decir $$\forall \varepsilon>0, \exists N: \forall n\in \mathbb N, n\geq N\implies \left\|\sum_{i\in\mathbb N}x_ie_i-\sum_{i=1}^nx_ie_i\right\|<\varepsilon.$$

Pero como $E$ es un espacio vectorial, $\sum_{i\in\mathbb N}x_ie_i\in E$ y por tanto existen (por definición de un espacio vectorial), pero supongo que podría ocurrir que $$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^n x_ie_i$$ no existe o es infinito, ¿verdad? Entonces, ¿cómo podemos gestionar este caso?

Answer 1

Respuesta para el caso de los espacios lineales normados: si se definen las "bases" como se hace en los espacios de dimensión finita (la llamada base de Hamel), entonces se pueden formar sumas inifinitas (en el caso de los espacios lineales normados) sólo cuando se sabe que la serie converge. Hay ejemplos en los que cada elemento tiene una expansión única como suma inifinita convergente en términos de una secuencia $\{e_n\}$ . Para los espacios de dimensión infinita existen varios tipos de bases: bases ortogonales, bases de Schauder, etc. En el caso de que el espacio vectorial no tenga norma/métrica/topología sólo se pueden formar sumas finitas.

Answer 2

Si $E=\text{Span}\{e_i\mid i\in\mathbb N\}$ tiene una dimensión infinita, entonces $$E=\bigoplus_{i\in\mathbb N} \text{Span}\{e_i\}:=\left\{\sum_{i=1}^n x_ie_i\mid x_i\neq 0 \text{ for a finite number of } x_i\right\}.$$

Answer 3

En el segundo caso, si $E$ es un espacio de Hilbert y la colección $\{e_i\}$ es ortonormal (es decir, $\left<e_i, e_j\right> = \delta_{ij}$ ), entonces $\sum x_i e_i$ converge si y sólo si $\sum |x_i|^2$ converge. Por la desigualdad del triángulo, si el conjunto $ \{\|e_i\|\}$ está acotada, entonces la serie converge si $\sum |x_i|^2$ converge. Así que supongo que el punto es que si tus coeficientes son sumables puedes hacer que la serie converja normalizando tus elementos base.

Answer 4

Otra definición no equivalente es:

Dejemos que $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia de vectores en un espacio normado $X$ . Decimos que $\sum_{n\in\mathbb{N}} v_n = v$ para algunos $v \in X$ si para cada $\varepsilon > 0$ existe un subconjunto finito $F_0 \subseteq \mathbb{N}$ tal que para cada subconjunto finito $F \subseteq \mathbb{N}$ con $F \supseteq F_0$ tenemos $$\left\|v - \sum_{n\in F}v_n\right\| < \varepsilon$$

Resulta que $\sum_{n\in\mathbb{N}} v_n = v$ equivale a la afirmación de que $$\sum_{n=1}^\infty v_{\sigma(n)} = v$$ para todas las permutaciones $\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ .

En este caso decimos que $\sum_{n\in\mathbb{N}} v_n$ converge incondicionalmente a $v$ .