¿Cómo se llama la familia de distribuciones con PDF proporcional a$(1+ax^2)^{-1/a}$?

Question

Considere la posibilidad de una familia de distribuciones con PDF (constante de proporcionalidad) dada por $$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$$ ¿Cómo se llama? Si no tiene un nombre, ¿cómo lo llaman?

Se ve muy similar a la familia de las $t$-distribuciones con PDF proporcional a $$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$$

Al $\alpha=\nu=1$ tenemos $t$-distribución con 1 df, también conocido como distribución de Cauchy. Al $\alpha\to 0$ o $\nu\to\infty$, obtenemos la distribución de Gauss.

Esta familia de distribuciones aparece en el Yang et al., Pesado-Cola Simétrica Estocástico Vecino Incrustación de objetos, GOLPES de 2009, pero no utilizar cualquier nombre para referirse a ella.

Answer 1

Se trata simplemente de una determinada escala de $t$-distribución-una $t$-distribución con diferentes varianza para el estándar $t$-distribución.

Deje $\nu = \frac{2}{\alpha}-1$. Deje $\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$.

Entonces, si lo hizo bien) $Y=X/\sigma$ es un estándar $t$ $\nu$ d.f.

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He aquí cómo mi razonamiento fue:

$$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$$ is a standard $t$densidad.

Tenemos la escala de la familia dejando $X/\sigma=Y$, en cuyo caso $$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$$ is a scaled $t$densidad.

Acaba de igualar los coeficientes en la densidad de este, y resolver para $\nu$$\sigma$.

Reconociendo que un parámetro de escala va a tomar lo que no es "correcto" en $\alpha x^2$ ($\nu$ ya está definido por la equiparación de poderes) era todo lo que necesitaba, a ver que se ajusta $t$; álgebra no era necesario, hasta que llegó el momento de encontrar los parámetros de la $t$.

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[Nota Final: En caso de que no es obvio que una escala familia tiene la forma $f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$, tome la probabilidad de instrucción $F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ (teniendo en cuenta que el evento $X/\sigma\leq t$ es idéntico para el caso de $Y\leq t$) y diferenciarse.]