¿Puede una espiral tener su centroide en el origen?

Question

A espiral es una curva $\gamma$ con la ecuación polar $r=f(\theta)$ donde $f$ es una función continua positiva estrictamente monótona en algún intervalo $[a, b]$ , $-\infty<a<b<\infty$ . Los ejemplos más conocidos son el espiral logarítmica y el Espiral de Arquímedes .

Problema : Encuentra una espiral cuyo centroide es el origen del sistema de coordenadas.

---

Progresos realizados hasta la fecha : Queremos $$\int_\gamma x\,ds = \int_\gamma y \,ds = 0 \tag1$$ Tenga en cuenta que $x = f(\theta)\cos\theta$ , $y = f(\theta)\sin\theta$ y $ds = \sqrt{(f'(\theta))^2 + f(\theta)^2}\,d\theta$ . Por lo tanto, necesitamos la función $$g(\theta) = f(\theta) \sqrt{(f'(\theta))^2 + f(\theta)^2} $$ para ser ortogonal a ambos $\cos \theta$ y $\sin\theta$ en el intervalo $[a, b]$ , lo que significa $$\int_a^b g(\theta)\cos\theta\,d\theta = \int_a^b g(\theta)\sin\theta\,d\theta = 0\tag2$$ Una forma natural de satisfacer (2) es tomar $[a, b] = [0, 2\pi]$ y $g$ sea constante (digamos $g\equiv 1$ ya que la escala no importa). Sin embargo, esto falla, porque al resolver la ecuación $g\equiv 1$ para $f$ (como una EDO autónoma) da como resultado $f(\theta) = \sqrt{\sin 2\theta}$ (hasta un desplazamiento), que ni siquiera está definida, y mucho menos es monótona, en ningún intervalo de longitud $2\pi$ .

Nota : No es necesario para $[a, b]$ para tener una longitud $2\pi$ o un múltiplo de $2\pi$ puede ser cualquier intervalo finito no trivial.

Answer 1

Puedo encontrar una aproximación que me convence de que se podría encontrar (numéricamente) una que satisfaga tus condiciones. Mi primer corte en una "espiral" se dibuja a continuación. Consiste en el segmento de línea desde el origen hasta $(2,0)$ un arco de círculo de $(2,0)$ a $(2 \cos \theta, 2\sin \theta)$ y un segmento de línea tangente al círculo de longitud $L$ . Me parece que para $\theta = 4.95, L\approx 0.786$ el $y$ centroide es correcto y el $x$ El centroide está ligeramente a la derecha del centro. Acortar el segmento inicial puede mover el $x$ centroide de vuelta sin impactar $y$ .
Me doy cuenta de que mi línea recta y mi círculo no cumplen con el aumento monotónico de $r$ con $\theta$ pero fueron fáciles de calcular y podemos acercarnos a ellos arbitrariamente.