Estudiando la convergencia de la serie$\sum_{n=1}^\infty\sin\frac1{n}\log\left(1+\sin\frac1{n}\right)$

Question

Estudiar la convergencia de la serie

$$\sum_{n=1}^\infty\sin\frac1{n}\log\left(1+\sin\frac1{n}\right)$$

Esto es lo que me ocurrió con

$$ \lim_{x\to \infty}\frac{\sin\frac1{n}\log\left(1+\sin\frac1{n}\right)} {\sin^2\frac1{n}}= 1 $$ esto implica que

$$\sin\frac1{n}\log\left(1+\sin\frac1{n}\right) \sim {\sin^2\frac1{n}}$$

usando la desigualdad $\sin{x}\lt x$ $\left(0\le x \lt \pi\right)$

$${\sin^2\frac1{n}} \lt \frac1{n^2}$$

Desde $\sum{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ converge así hace $\sum{n=1}^\infty\sin^2\frac1{n}$ esto implica la convergencia de %#% $ #%

¿Es esto correcto?

Answer 1

Gracias al comentario de Mark Viola, sabemos que$\dfrac{1}{n}<1$ está en el primer cuadrante así que$\sin\dfrac{1}{n}>0$, luego$$\sum_{n=1}^\infty\left(\sin\frac{1}{n}\right)\ln\left(1+\sin\frac1{n}\right)<\sum_{n=1}^\infty\left(\sin\frac{1}{n}\right)^2<\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\zeta(2)$ $

Answer 2

Su conclusión es correcta, pero es necesario aclarar alguna cuestión.

Usted ha demostrado que

$$\sin\frac1{n}\log\left(1+\sin\frac1{n}\right) \sim {\sin^2\frac1{n}}$$

y, a continuación,

$${\sin^2\frac1{n}} \lt \frac1{n^2}$$

por lo tanto, por la prueba de comparación tenemos que desde $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ $\sum_{n=1}^\infty\sin^2\frac1{n}$ converge.

Para concluir tenemos dos elección:

1. Consulte límite de la prueba de comparación para demostrar la convergencia de la serie dada la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty\sin^2\frac1{n}$
2. Refiérase nuevamente a la prueba de comparación muestra que (ver el comentario de Mark Viola)

$$\sin\frac1{n}\log\left(1+\sin\frac1{n}\right)\le \sin \frac1{n^2}\le \frac1{n^2}$$

Como una alternativa más simple, en mi opinión, a partir de aquí

$$\sin\frac1{n}\log\left(1+\sin\frac1{n}\right)\sim \frac1{n^2}$$

directamente se puede concluir límite de la prueba de comparación con el convergente $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$.