Consejos sobre el pensamiento como un algebraist topólogo para probar teoremas en análisis

Question

La navegación a través de stackexchange, a menudo me sorprende por la elegancia de topológico/algebraica de las pruebas para los reclamos en el análisis. Una y otra vez, me puede venir para arriba con una prueba pero no habría pensamiento de los otros, con los que piensan de venir de un analista, o a veces más sacrílegamente, un ingeniero de perspectiva. Soy bueno en juegos malabares alrededor de epsilons, el establecimiento de las desigualdades, o probar uno de los muchos tipos de convergencia, pero cada vez que el paso clave es inventar nuevos espacios tan simple como un cociente de espacio, me quedo atascado. Exasperante, que tienden a entender la prueba una vez que se presenta - yo simplemente no puede venir con mi cuenta. Permítanme ilustrar con un ejemplo:

La afirmación de que ser probados es la siguiente:

Deje $T: X \rightarrow Y $ ser un mapeo lineal entre dos normativa espacios lineales. Suponga que usted ha demostrado que si $X$ es finito dimensional, $T$ es continua. Probar que si $Y$ es finito dimensionales, $T$ es continua si y sólo si $\ker(T)$ es cerrado.

Si $T$ es continua, entonces a partir de la $\ker(T) = T^{-1}(0)$ es la preimagen de un conjunto cerrado, es cerrada. Hasta ahora tan bueno. Para la segunda parte tengo dos pruebas diferentes:

La primera prueba es arenosa, y en un estilo de un análisis de libros de texto:

Sin pérdida de generalidad, $T$ es surjective. Deje $\{e_i\}_{i=1}^n$ ser una base para $Y$. Entonces existe $\{u_i\}_{i=1}^n$ tal que $Tu_i = e_i$. Si $T$ no fueron continuas, hay una secuencia $\{x_j\}_{j=1}^\infty \rightarrow 0$ tal que $\|Tx_j\|=1$. La unidad de la esfera en $X$ $Y$ es compacto, por lo tanto hay una larga (por simplicidad sólo $\{x_j\}_{j=1}^\infty$) y un $y \in Y$ $\|y\| =1$ tal que $Tx_j \rightarrow y$. Desde $Y$ es finito-dimensional, se han apropiado de los coeficientes que $$Tx_j = \sum_{i=1}^n \alpha_{i,j} e_i, \quad y = \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i , \text{ where } \alpha_{i,j} \rightarrow \alpha_i \text{ as } j \rightarrow \infty .$$ Denotar $w_j = \sum_{i=1}^n \alpha_{i,j} u_i, w = \sum_{i=1}^n \alpha_i u_i $. Tenga en cuenta que $T(w_j - x_j) = 0$, lo $w_j - x_j \in \ker(T)$. Desde $\ker(T)$ se cierra $w = \lim w_j - x_j \in \ker(T)$, pero $Tw = y \neq 0$, una contradicción. Por lo tanto $T$ debe ser continua.

La segunda prueba es algo topológico, y mucho más limpio y elegante:

Desde $\ker(T)$ es cerrado, $X/\ker(T)$ es una normativa espacio lineal. Definir $\bar{T}:X/\ker(T) \rightarrow Y$$\bar{T}(x + \ker(T)) = T(x)$, que es lineal y continua desde $X/ker(T)$ es finito-dimensional. Definir $\pi: X \rightarrow X/\ker(T)$ en la forma obvia. A continuación, tenga en cuenta que $T = \bar{T} \circ \pi$ es una composición de función continua, por lo tanto continua.

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Este definitivamente no es un ejemplo perfecto, pero en mi imperfecto vocabulario, la primera, arenosa de la prueba es muy detallado, completo de análisis de conceptos tales como la convergencia, o por simple álgebra lineal, mientras que la segunda se ocupa de las propiedades del espacio como un todo, sin confiar mucho en los objetos dentro de él. Me doy cuenta de que es difícil comparar estos "estilos" en la prueba, y el primer estilo puede ir una manera larga. Sin embargo, creo que para ser un mejor estudiante de matemáticas, e incluso de análisis, debo tener más control sobre algebraicas y topológicas de las técnicas. He tomado cursos de álgebra abstracta y la topología, pero mi intuición para estas no ha crecido lo suficiente para mí para pensar en preguntas que en el análisis en gran medida algebraicas y topológicas maneras, al menos más allá del estándar de álgebra lineal.

En la final, estoy seguro de que quiero estudiar análisis, sobre todo para aplicar efectos, y soy consciente de que hay limitaciones prácticas - no voy a estar en la escuela para siempre. ¿Usted todavía de acuerdo en que el desarrollo de una mayor topológica de la intuición es que vale la pena? Por qué o por qué no? Si usted siente que vale la pena, ¿cómo debería cultivar dijo intuición (teniendo en cuenta que, finalmente, voy a entrar aplicado en lugar de matemáticas puras)?

Answer 1

La pregunta es en parte comprensible. Por otro lado, no creo que mi intento como respuesta a considerarse en cualquier lugar cerca de "suficiente". Varios puntos de vista deben ser tomados en cuenta, y me he centrado en ejemplos. Estos son ejemplos me han ayudado a "leer como un matemático en mi opinión". Dicho esto, mi principal regla de oro es: si se puede dibujar una estrategia, usted está probablemente haciendo las cosas fáciles para usted.

1) Construcciones en matemáticas son a menudo diseñados con objetivos específicos en mente. Un ejemplo ya ha descrito por usted: cocientes. Desde mi punto de vista, los cocientes son construcciones abstractas dado por ciertos ingredientes: algunos set/espacio/objeto algebraico $A$ o del mismo modo, algunos subconjunto/subespacio etc. $B$ y el cociente mapa de $\pi \colon A \rightarrow A/B$, $A/B$ todas las clases de equivalencia.

Si nosotros por ejemplo considerar la configuración topológica, quisiera a mi nuevo espacio de $A/B$ una topología así. Además, parece natural para forzar $\pi$ ser continua (por ser parte de la construcción). $\textit{In fact, the quotient topology is the topology making this happen!}$

2) Con estas ideas generales de las construcciones, a menudo me encuentro mejor equipado en la reformulación de un problema, como el tuyo de arriba, en una pregunta específica sobre un objeto. En la "limpia" la prueba de que usted ha mencionado, considero que el enfoque de la siguiente manera: Desde composiciones de continuo los mapas siguen siendo continua, basta con escribir los $T$ como un producto (composición) de continuo mapas. Desde este punto, sólo tenemos que reescribir $T$ $$ T\colon X \stackrel{\pi}{\rightarrow} V \stackrel{\varphi}{\rightarrow} Y $$

Para algunos normativa espacio de $V$. Un diagrama de este tipo se suele llamar una factorización sin mucha sorpresa. El mapa de $\bar{T}$ ha definido es el único mapa $\varphi$ en el cociente del espacio de $V=X/\ker T$ factorización $T$ de esta manera (con $V=X/\ker T$ $\pi$ el cociente mapa).

3) Para resumir un poco, buenos consejos son los siguientes.

• Siempre tratar de reducir el problema a algo manejable/simple como escribir $T$ como una composición de mapas. Las propiedades algebraicas a menudo ayudar a usted aquí. Un sencillo pero buen ejemplo podría ser una base. Digamos que usted necesita para probar la existencia de algunos lineal mapa, a continuación, el logro de este sobre una base prescrita suficiente y usted puede olvidarse de que el resto de algunos posiblemente espacio loco. De nuevo, esto es natural, pues uno de los puntos de base es reducir el "tamaño".

• Dibuja tu problema, si es posible, el uso de diagramas o exacta de las secuencias. Por qué? Construcciones, especialmente en álgebra (en mi opinión), se suelen construir con tales diagramas o secuencias de describirlas. Ocasionalmente, se termina de dibujar un diagrama que mucho se asemeja a la fijada para la construcción (para inspiración o quizás directo a las pistas).

• Conocer las ideas de las construcciones. Mi ejemplo favorito es el primer teorema de isomorfismo para los módulos. Es decir, si $\varphi \colon A \rightarrow B$ es un surjection módulo de mapa, a continuación, $$ Un/\ker \varphi \cong B. $$

Cierto que es un isomorfismo. Pero el mapa en sí es importante (y aparece en tu ejemplo!): cada uno de estos, no necesariamente surjective, $\varphi$ induce un mapa del módulo $\bar{\varphi} \colon A/\ker \varphi \rightarrow B$ y el primer isomorfismo estados que surjectivity de $\varphi$ implica que el $\bar{\varphi}$ es un isomorfismo. Ergo usted siempre tiene que mapa asociado a su disposición y factorizes $\varphi$ \begin{equation}\tag{%#%#%} \varphi\colon A\rightarrow A/\ker \varphi \rightarrow B. \end{equation}

donde la primera flecha representa el cociente mapa. (Si me preguntan a mí, la existencia de $\ast$ es la parte crucial de la prueba del primer teorema de isomorfismo, no se por qué uno adquiere un isomorfismo siempre $\bar{\varphi}$ es surjective).

Si volvemos al ejemplo: Paso $\varphi$ fue para reducir el problema a la escritura $1$. Paso $T = \bar{T} \circ \pi$, desde mi punto de vista, es reformular el problema en la búsqueda de un diagrama de $$ T\colon X \stackrel{\pi}{\rightarrow} V \stackrel{\varphi}{\rightarrow} Y $$

Sin embargo, este diagrama aparece muy a menudo en los cocientes como en ($2$). La explotación de este podría funcionar?

Espero que esto ayude.