Cómo determinar si un conjunto de cinco $2\times2$ matrices es independiente

Question

S $$ = \bigg\ {\left [\begin{matrix}1&2\2&1\end{matriz} \right], \left[\begin{matrix}2&1\-1&2\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}0&1\1&2\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}1&0\1&1\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}1&4\0&3\end{matrix}\right]\bigg}$$

¿Cómo puedo determinar si un conjunto de cinco $2\times2$ matrices son independientes?

Answer 1

Puesto que el espacio de todas las matrices $2\times2$ es $4$-dimensional, cada conjunto de $5$ tales matrices es linealmente dependiente.

Answer 2

Como se ha señalado, cuatro matrices forman una base para las matrices de $2\times2$ (la más fácil sería $$ \left[\begin{matrix}1&0\0&0\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}0&1\0&0\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}0&0\1&0\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}0&0\0&1\end{matrix}\right] $$) para cinco matrices no pueden ser linealmente dependiente.

En su caso la dependencia es \left[\begin{matrix}1&2\2&1\end{matrix}\right $$] + \left[\begin{matrix}2&1\-1&2\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}0&1\1&2\end{matrix}\right]-2\left [\begin{matrix}1&0\1&1\end{matriz} \right] - \left[\begin{matrix}1&4\0&3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0&0\0&0\end{matrix}\right]. $$

Answer 3

Como los otros han dicho, este conjunto de $5$ debe ser linealmente dependiente debido a la dimensión del espacio de todas las $2\times 2$ matrices es $4$.

De manera más general, ¿cómo se puede mostrar que un conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente? Crear una combinación lineal de los vectores, el conjunto es igual a $0$, e intentar resolverlo.

$$ a_1X_1 + a_2X_2 + \dotsb+ a_nX_n = 0 $$ Si la única solución posible es $a_1 = a_2 = \dotsb = a_n = 0$ entonces el conjunto es independiente. Si una solución diferente existe entonces el conjunto es dependiente.

Answer 4

Estirar las matrices para completar las filas de la siguiente matriz $$\newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} M(v)=\begin{bmatrix} v_1&1&2&2&1\\ v_2&2&1&-1&2\\ v_3&0&1&1&2\\ v_4&1&0&1&1\\ v_5&1&4&0&3 \end{bmatrix}\tag1 $$ Tenga en cuenta que la fila superior de la adjunta de a $M(v)$ $$ \begin{bmatrix} -14&-14&-14&28&14 \end{bmatrix}\tag2 $$ es independiente de $v$, ya que se compone de los cofactores de los elementos de la columna de la izquierda de $M(v)$. Deje $u$ ser la fila superior de $\adj M(v)$. Por Laplace de la Fórmula, $$ \det M(v)=u\cdot v\tag3 $$ Establecimiento $v$ a ser uno de los fijos de las columnas de a $M(v)$ da $\det M(v)=0$ a causa de la duplicación de las columnas. Por lo tanto, $u$ es perpendicular a todos los fijos de columnas de a $M(v)$.

Podemos reescribir el producto escalar de a $-\frac1{14}u$ con el fijo de columnas de a $M(v)$ $$ 1\ \overbrace{\begin{bmatrix} 1&2\\2&1 \end{bmatrix}}^\text{fila $1$} + 1\ \overbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\-1&2 \end{bmatrix}}^\text{fila $2$} + 1\ \overbrace{\begin{bmatrix} 0&1\\1&2 \end{bmatrix}}^\text{fila $3$} -2\ \overbrace{\begin{bmatrix} 1&0\\1&1 \end{bmatrix}}^\text{fila $4$} - 1\ \overbrace{\begin{bmatrix} 1&4\\0&3 \end{bmatrix}}^\text{fila $5$} = \begin{bmatrix} 0&0\\0&0 \end{bmatrix}\tag4 $$