¿Qué es exactamente una función?

Question

Esta observación aparece en el Análisis I de Terence Tao

Observación 3.3.6. Estrictamente hablando, las funciones no son conjuntos, y los conjuntos no son funciones; no tiene sentido preguntar si un objeto $x$ es un elemento de una función $f$ y no tiene sentido aplicar un conjunto $A$ a una entrada $x$ para crear una salida $A(x)$ . Por otro lado, es posible comenzar con una función $f : X Y$ y construir su gráfico $\{ (x, f(x)) : x \in X \}$ que describe completamente la función: véase el apartado 3.5.

En muchos de los libros que he consultado (casi todos sobre Teoría de Conjuntos) sí se considera $f$ para ser un conjunto definido como $f = \{ (x, f(x)) : x \in X \}$ que se incluye en $X \times Y$ (es decir, el producto cartesiano de $X$ y $Y$ ) y no veo por qué Tao lo ve como algo sin sentido?

Otra cosa, consideremos estas dos definiciones:

(1) Para cada elemento $x \in A$ existe a lo sumo un elemento $y$ en $B$ tal que $(x,y) \in f$ , $y = f(x)$ o $x f y$ depende de la notación utilizada.

(2) Para cada elemento $x$ en $A$ existe un único elemento $y \in B$ tal que $(x,y) \in f$ , $y = f(x)$ o $x f y$ depende de la notación utilizada.

En casi todos los libros franceses que he consultado (1) es una definición de lo que llaman "fonction" (es decir, Function en inglés aparentemente), y (2) es para lo que llaman "application" (no sé a qué debería traducirse en inglés, creo que 'map' serviría), pero en los libros ingleses que he consultado no hacen esta distinción, definen function, map...etc como en (2) y consideran que (1) no es una función.

Mi pregunta es cuál debo considerar como definición de una función aunque (2) sería la que más sentido tendría para mí, ya que por qué incluiría elementos que no tienen una imagen en el dominio de $f$ ?

Answer 1

Creo que una respuesta a esta pregunta tendría que entrar en cuestiones filosóficas sobre fundamentos matemáticos. Actualmente, por lo que sé, la mayoría de la enseñanza de las matemáticas presenta fundamentos basados en la ZFC. La idea básica aquí es que todo objeto de consideración se considera un conjunto, y entonces para dos objetos cualesquiera $x$ y $y$ es válido preguntarse si $x \in y$ y preguntar si $x = y$ . Esto tiene la ventaja de reducir las cosas a un número muy pequeño de primitivas, mientras que sigue siendo lo suficientemente potente como para poder representar eventualmente casi todos los conceptos matemáticos útiles, como los números reales o complejos, y sí, las funciones. (Aunque la teoría de las categorías empieza a tener algunos problemas teóricos cuando se intenta expresar eso en términos de ZFC...)

La desventaja, sin embargo, es que esta representación es "artificial" y no refleja realmente la forma en que la mayoría de los matemáticos piensan en el día a día. Por ejemplo, la "representación" más común de los números naturales en ZFC es: $0 = \{ \}$ , $1 = \{ 0 \} = \{ \{ \} \}$ , $2 = \{ 0, 1 \} = \{ \{ \}, \{ \{ \} \} \}$ y así sucesivamente. Esto no es una representación natural: tendemos a pensar en los números naturales no como conjuntos que se pueden comparar por $\in$ sino como objetos "atómicos" que podemos comparar, por ejemplo, con $<$ . Del mismo modo, supongamos por ejemplo que en un curso de álgebra abstracta se empieza diciendo "dejemos $G$ y $H$ ser dos grupos". Entonces sí se piensa en $G$ y $H$ como conjuntos de elementos; sin embargo, normalmente no se piensa en los elementos $g \in G$ o $h \in H$ como conjuntos en sí mismos, ni suele tener sentido preguntar si $g = h$ para $g \in G$ y $h \in H$ (o incluso si es teóricamente válida, casi siempre se consideraría una pregunta irrelevante).

Pasando al tema de las funciones: a un nivel primitivo, tendemos a pensar en las funciones $f : X \to Y$ no como un conjunto abstracto de pares, sino como una noción de una forma de tomar un elemento $x \in X$ como entrada y produciendo algún elemento correspondiente $y \in Y$ como salida. Entonces, a partir de eso, sí podemos considerar el gráfico de $f$ como un subconjunto de $X \times Y$ pero tendemos a pensar que esto es más complejo que el "algoritmo para transformar la entrada en la salida" y que es menos útil en la mayoría de los casos.

Por ello, se ha trabajado bajo el título de "teoría de tipos" para tratar de encontrar fundamentos para las matemáticas que sean más naturales y reflejen más estrechamente el modo de pensar de las matemáticas cotidianas, en comparación con la ZFC. La idea general de esta filosofía para llegar a un sistema fundacional es: trabajamos con tipos que se consideran incomparables; por ejemplo, si $X$ y $Y$ son dos tipos diferentes, entonces en general no tiene sentido tratar de preguntar sobre $X \cap Y$ o sobre $X \cup Y$ (aunque muchas teorías de tipos permiten formar una unión disjunta $X \sqcup Y$ ). Además, los elementos de un tipo general se consideran objetos "atómicos" que no se considera que tengan ninguna otra estructura interna. Asimismo, se exige que las funciones sean sólo una de las nociones irreducibles que no pueden definirse (al igual que la noción de "conjunto" y la relación $\in$ no se puede definir en ZFC). Todo lo que podemos hacer es proporcionar formas de tomar las funciones existentes y construir funciones más complejas a partir de ellas.

Como ejemplo ilustrativo de cómo podría ser una teoría de tipos de este tipo, el "cálculo lambda simplemente tipado" podría ser un buen punto de partida. Aquí, la noción fundamental es la de "juicio de tipado" y la de relaciones entre ellos. Por ejemplo, una "derivación tipográfica" válida podría ser:

$$ X ~ type, Y ~ type, Z ~ type, f : X \to Y, g : Y \to Z \vdash (\lambda (x : X) . g(f(x))) : X \to Z. $$

Esto dice que si $X,Y,Z$ son variables que representan tipos, y $f$ es una función de $X$ a $Y$ y $g$ es una función de $Y$ a $Z$ , entonces el término $\lambda (x : X) . g(f(x))$ forma una función de $X$ a $Z$ que representa la composición $g \circ f$ . Esto se demostraría formalmente a partir de normas como:

\begin{align*} \Gamma & \vdash \phi : X \to Y \\ \Gamma & \vdash \psi : X \\ \hline \Gamma & \vdash \phi(\psi) : Y. \end{align*}

Esto dice que si tienes un contexto $\Gamma$ (una lista de cosas como $X~type$ o $term : X$ ), junto con dos términos $\phi$ y $\psi$ y en el contexto $\Gamma$ puede demostrar que $\phi$ es del tipo $X \to Y$ y $\psi$ es del tipo $Y$ , entonces se puede formar un término de aplicación de la función y en el contexto $\Gamma$ tienes que $\phi(\psi)$ es del tipo $Y$ .

Luego, también hay teorías de tipos que amplían esto con afirmaciones como $\tau~proposition$ , $\tau~true$ y añadir un sistema de prueba formal para trabajar con ellos. Obsérvese que, de acuerdo con la filosofía, es mucho más común utilizar un sistema de prueba formal del estilo de la deducción natural en una teoría de tipos extendida como ésta, en lugar de un sistema del estilo de Hilbert. (Aunque una alternativa común es invocar la correspondencia Curry-Howard, que esencialmente dice que las derivaciones de tipos, junto con construcciones como los tipos producto y los tipos unión disjunta, ya son suficientes para expresar la lógica de primer orden relevante. Si se utiliza esto, entonces en estos sistemas formales, una proposición simplemente se convierte en un caso especial de un tipo).

Así pues, estas teorías de tipos tienden a trasladar los argumentos matemáticos de forma más natural al lenguaje formal. Sin embargo, tienen algunas desventajas en comparación con ZFC. Por un lado, tienen un número significativamente mayor de nociones primitivas que tienen que ser descritas en la metateoría, haciendo que un estudio metamatemático de las propiedades de una teoría de tipos sea posiblemente más difícil. Además, tendemos a pensar en relaciones como $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ mientras que la teoría de tipos tiende a tener dificultades para expresar tales relaciones de "inclusión canónica".

Volviendo a la pregunta original, no estoy muy familiarizado con el texto de Análisis de Tao. Pero por la cita, parece que el autor está suscribiendo más el punto de vista de la teoría de tipos de que las funciones deben ser consideradas una noción primitiva, y los gráficos de las funciones deben ser considerados algo que se deriva de la primitiva - en oposición al punto de vista de ZFC de que una función es precisamente un conjunto que satisface ciertas propiedades.

Answer 2

Me gusta y sugiero lo siguiente definición :

Una función $f:A\to B$ es un triple

1. un primer conjunto $A$ (dominio)

2. un segundo conjunto $B$ (codominio)

3. una ley (es decir, una regla, una relación, etc.) tal que en cada elemento de $A$ se asocia un único elemento de $B$ es decir

$$\forall x\in A \quad \exists ! y\in B:\,y=f(x)$$

Answer 3

El Tao define un función de $X$ a $Y$ para ser una propiedad $P(x,y)$ de elementos $x \in X$ y $y \in Y$ tal que para cada $x$ hay exactamente una $y$ haciendo que la propiedad sea verdadera.

Por supuesto, esta definición de una función como "propiedad", sin más aclaraciones, no cumple con los estándares de precisión y rigor que se encontrarían en una construcción de las matemáticas sobre la base de la teoría de conjuntos. Es de suponer que Tao considera que una construcción de este tipo es inadecuada al nivel de su libro. Obviamente, dado que una "propiedad" no es un conjunto, Tao tiene razón al decir que, según su definición de función, no es un conjunto.

Con respecto a la cuestión de si el dominio de la definición es todo el $X$ o no, haré las siguientes observaciones.

La distinción entre una función ( Función ) y un mapeo ( aplicación ) a la que usted se refiere existe efectivamente en Francia (o existió), pero sólo a nivel escolar, no en las matemáticas superiores en general. La razón es que uno quiere poder referirse a una función como $f(x) = 1/(x-1)$ como una función de $\mathbf{R}$ a $\mathbf{R}$ aunque sea un mapeo de $\mathbf{R} - \{1\}$ a $\mathbf{R}$ . Esta distinción no existe en los países de habla inglesa, que yo sepa, y no sé en otros idiomas.

Incluso en Francia, salvo en contextos específicos, los matemáticos no suelen hacer esta distinción. Si se habla de una función de $X$ a $Y$ se está diciendo que el dominio de la definición es todo $X$ . Una excepción, a la que Suzet alude en un comentario, es la teoría de las funciones recursivas, donde se quiere poder hablar de una "función parcial" a partir de $\mathbf{N}$ a $\mathbf{N}$ .

Cuando se formaliza el concepto de función de forma teórica de conjuntos, el enfoque más común es definir un mapeo $f$ de $X$ a $Y$ como sinónimo de su gráfico, que es el conjunto que se define en (2).

Esta definición tiene mucho que decir, pero también tiene lo que algunos consideran una grave deficiencia. Un gráfico $\Gamma$ podría representar una función $f$ de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ pero el mismo gráfico también podría representar una función de $X$ a cualquier otro conjunto $Y'$ que contiene $f(X)$ . Hay áreas de las matemáticas, en particular aquellas en las que se utiliza a menudo la teoría de categorías, en las que esto es inconveniente, y uno quisiera considerar dos mapeos $f \colon X \to Y$ y $f' \colon X \to Y'$ con el mismo gráfico $\Gamma$ para ser objetos distintos. En consecuencia, Bourbaki define los mapeos $f$ y $f'$ para ser las distintas triplas $(\Gamma, X, Y)$ y $(\Gamma, X, Y')$ respectivamente. Esta convención ha sido seguida por muchos autores, especialmente en Francia, donde su influencia ha sido mayor.