Suma de dígitos de la suma de dígitos de la suma de dígitos de $7^{7^{7^7}}$

Question

En la parte posterior de una revista de matemáticas, encontré algunos "datos rápidos" sobre el número 7. La mayoría de ellos estaban relacionados con la vida real, como "Roma se construyó sobre 7 colinas", "el cuello de la mayoría de los mamíferos está formado por 7 huesos", "una mariquita tiene 7 manchas negras en la espalda", etc.

Pero el último era muy intrigante: denotado por $A$ la suma de dígitos del número $7^{7^{7^7}}$ , por $B$ la suma de dígitos de $A$ y por $C$ la suma de dígitos de $B$ . ¿Cuál es la suma de dígitos de $C$ ?

Después de investigar un poco sobre la potencia de los ordenadores habituales, llegué a la conclusión de que no sería posible calcular este número y encontrar las sumas así. Así que la solución debe ser puramente matemática. Pero no conseguí encontrar ningún camino hacia la solución. Si ayuda, tenemos que $7^7=823543$ que tiene la suma de dígitos $25$ pero las calculadoras de números grandes en línea ni siquiera pueden calcular $7^{7^7}$ y pensé que no valía la pena escribir un programa así yo mismo.

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Editar : Después de unas buenas horas quiero sacar algunas conclusiones sobre la cuestión así como proponer algunas ampliaciones.

Hemos visto que para el número propuesto $^4 7$ la suma buscada es $7$ . Mees de Vries encontró una prueba rigurosa para ello, pero que no parece funcionar en un caso general; Henry dio una solución bastante tediosa que puede ser generalizable con algunas explicaciones adicionales necesarias, y Gottfried Helms dio con un algoritmo informático que utilizó para deducir que la suma de dígitos (repetida tantas veces como sea necesario) se repetirá con período 3 a través de potencias consecutivas de 7.

Ahora, basándonos en que del Teorema de Euler obtendremos que $^n 7$ tiene un residuo $7$ mod 9, para cualquier $n\in\mathbb{N}^*$ Llegué a creer que si hacemos repetidamente la suma de dígitos para los más grandes $^n 7$ también obtendremos 7. La cuestión es cuántas veces tendríamos que hacer la suma de dígitos. Además, me gustaría notar que el número 7 aquí no es una simple coincidencia. Es porque es $\varphi(9)+1$ y la suma de dígitos conserva mod 9. Sería interesante encontrar una propiedad similar para 3, que tiene la función totiente 2, y también "conserva" el residuo de la suma de dígitos (aquí parece que la suma será 9 - al menos así es para $3^3$ y $3^{3^3}$ ).

Gracias por todas sus respuestas.

Answer 1

Dejemos que $\mathrm{sod}$ representan la operación de suma de dígitos de límite superior, es decir, $$ \mathrm{sod}(n) = \sup_{m \leq n}\left( \text{sum of digits of $ m $}\right). $$ Esto tiene la bonita ventaja de que es trivialmente una función monótona.

Si podemos demostrar que $$ \mathrm{sod}^4\left(7^{7^{7^7}}\right) < 10, $$ podemos utilizar Teorema de Euler para concluir rápidamente, ya que al aplicar la operación de suma de dígitos (ordinaria) no cambia el residuo módulo 9. Pero dejemos que WolframAlpha haga el trabajo por nosotros, para ver que el resultado será 7+mod+9) .

Tenga en cuenta que $\mathrm{sod}(n) \leq 9(\log_{10}(n) + 1)$ , como $\log_{10}(n) + 1$ es un límite superior del número de dígitos del número $n$ y cada dígito es como máximo 9. Centrémonos en el caso de que $n$ tiene al menos dos dígitos, por lo que, de hecho, está acotado por $18\log_{10}(n)$ . Entonces tenemos que $$ \mathrm{sod}^4\left(7^{7^{7^7}}\right) \leq \mathrm{sod}^3\left(7^{7^7} \cdot 18 \cdot \log_{10}(7)\right) \leq \mathrm{sod}^2\left(7^7\cdot 18 \cdot \log_{10}(7) + 18\log_{10}(18) + 18\log_{10}^2(7)\right). $$ (Nótese que estamos utilizando la monotonicidad de nuestro $\mathrm{sod}$ ¡función aquí! Por eso hemos hecho la definición).

El número en el argumento de $\mathrm{sod}^2$ es lo suficientemente pequeño como para que podamos evaluarlo simplemente: está ciertamente acotado por 12527573. El $\mathrm{sod}$ de este número es la suma de dígitos de $9999999$ que es $7 \times 9 = 63$ y nos quedamos a duras penas (!) en condiciones de concluir, porque el $\mathrm{sod}$ de este número es la suma de dígitos de $59$ que es $14$ . A pesar de que esto es mayor que los 10 que decíamos que necesitábamos más arriba, aún así hemos terminado: si la suma de dígitos que buscábamos fuera mayor que 7 tendría que ser al menos 16, y no puede serlo, por lo que concluimos que el resultado es efectivamente 7.

Answer 2

• $7^{3n}\equiv 1 \pmod 9$ , $7^{3n+1}\equiv 7 \pmod 9$ , $7^{3n+2}\equiv 4 \pmod 9$
• $7^{m}\equiv 1 \pmod 3$
  • así que $7^{7^{7^7}} \equiv 7 \pmod 9$ y es de la forma $9k+7$ para algunos $k$
• cualquier número menor que $17$ (en realidad $79$ ) de la forma $9k+7$ tiene una suma de dígitos de $7$
  • $7 \lt 10$
• cualquier número menor que $10^{10}+7$ (en realidad $8\times 10^{72}-1$ ) de la forma $9k+7$ tiene una suma doble de dígitos de $7$
  • $7^7 \lt 10^{10}$
• cualquier número menor que $10^{10^{10}}+7$ (en realidad $8 \times 10^{8\times 10^{72}-8} -1$ ) de la forma $9k+7$ tiene una suma triple de dígitos de $7$
  • $7^{7^7} \lt 10^{10^{10}}$
• cualquier número menor que $10^{10^{10^{10}}}+7$ (en realidad $8\times 10^{8 \times 10^{8\times 10^{72}-8} -8}-1$ ) de la forma $9k+7$ tiene una suma cuádruple de dígitos de $7$
  • $7^{7^{7^7}} \lt 10^{10^{10^{10}}}$

Así que $7^{7^{7^7}}$ tiene una suma cuádruple de dígitos de $7$

Answer 3

Propongo la siguiente definición para la función (recursiva) de suma de dígitos

  \\ Pari/GP-Code     
  {sod(n) = local(s,d);
     while(n>9, 
           s=0; while(n>0,
                    d=n % 10;  \\ the last digit to "d"
                    s=s+d;     \\ add "d" to the digit-sum "s"
                    n=n\10;   \\ shift n one decimal digit to the right
                    );    \\ s has now the number of digits of n,
           n=s);  \\ because possibly s>9 we use this as new n and repeat  
      return(n);} 

Si comprobamos ahora la suma de dígitos de las potencias consecutivas de $7$ obtenemos

vector(12,r,sod(7^(r-1 )))
 %969 = [1, 7, 4, 1, 7, 4, 1, 7, 4, 1, 7, 4]

y vemos, que esto es simplemente periódico con periodo $3$

vector(12,r,sod(7^((r-1) % 3)))
 %970 = [1, 7, 4, 1, 7, 4, 1, 7, 4, 1, 7, 4]

Después necesitamos el residuo del exponente $\;^37 \pmod 3$ que, desde $7 \equiv 1 \pmod 3$ es $1$ .

Así que tenemos $$ \text{sod}(\;^47 ) = \text{sod}(7^{\;^37 \pmod 3} ) =\text{sod}(7^{1}) = 7 $$

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actualización
Para ver, si la suma de dígitos iterada exactamente 4 veces llegaría a un número de un dígito he estimado esto usando Pari/GP:
Aquí nd_xxx significa "número de dígitos de xxx" , sd_xxx suma de dígitos de xxx. La suma se estima simplemente por la media de los dígitos posibles, lo que significa sd_XXX = 4.5 * nd_XXX . Z está aquí $ \;^47$ .

nd_Z=%59 \\= 7^7^7^*log(7)/log(10)   
 %85 = 3.17741949328 E695974   \\ number digits of Z

A=sd_Z=4.5*nd_Z
 %86 = 1.42983877198 E695975   \\ estimated sum of digits of Z  

nd_A=log(A)/log(10)            \\ number of digits of A
 %87 = 695975.155287

B=sd_A=4.5*nd_A                \\ est. sum of digits of A 
 %88 = 3131888.19879

nd_B=log(B)/log(10)            \\ est. number of digits of B
 %89 = 6.49580625035

C=sd_B=4.5*nd_B                \\ est. sum of digits of B
 %90 = 29.2311281266

nd_C=log(C)/log(10)            \\ est. number of digits of C
 %91 = 1.46584557655

D=sd_C=4.5*nd_C                \\ est. sum of digits of C
 %92 = 6.59630509448

Así que usando la suma de dígitos recursivamente 4 veces podría llegar a un número de un solo dígito.

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Sin embargo, esta respuesta podría haber pasado por alto el punto exacto de la pregunta. Considero borrarla más tarde.

Answer 4

$$ \begin{split} 7^{7^{7^7}}= 7^{7^{823543}} &= 7^\text{a number with around $>100000$ but less than $1000000$ digits}\\ &= \text{a number with around a number with 5 digits} \end{split} $$ Por lo tanto, $C$ tiene $5$ dígitos