Evaluar: $I=\int^\infty_0 \frac {e^{-ax}\ \sin bx}{x}\,dx$

Question

Cómo evaluaría la integral: $$I=\int^\infty_0 \frac {e^{-ax}\ \sin bx}{x}\,dx$$ He empezado a hacer el problema por integración por partes pero parece que es más largo. Como se trata de una integración definitiva, cualquier propiedad puede estar ahí. No consigo averiguar la propiedad básicamente. Cualquier sugerencia será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Obsérvese, utilizando la propiedad de la transformada de Laplace, lo siguiente $$L\left(\frac{1}{t}f(t)\right)=\int_{s}^{\infty}L(f(t))dt$$ $$L(\sin bt)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin t dt=\frac{b}{b^2+s^2}$$

Ahora, tenemos $$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}dx$$ $$=\int_{a}^{\infty} L(\sin bx)dx$$ $$=\int_{a}^{\infty}\frac{b}{b^2+x^2} dx$$ $$=b\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{b^2+x^2} $$ $$=b\left[\frac{1}{b}\tan^{-1}\left(\frac{x}{b}\right)\right]_{a}^{\infty} $$ $$=\left[\tan^{-1}\left(\infty\right)-\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)\right] $$ $$=\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$$ Por lo tanto, tenemos

$$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}dx=\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)}}$$

Answer 2

$\bf{My\; Solution::}$ Dejemos que $$\displaystyle I(a,b) = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ax}\cdot \sin (bx)}{x}dx$$

Ahora Fiff. ambos lados w. r a $a\;,$ Obtenemos

$$\displaystyle \frac{dI(a,b)}{da} = \frac{d}{da}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ax}\cdot \sin (bx)}{x}dx = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ax}\cdot -x\cdot \sin (bx)}{x}dx = -\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\cdot \sin (bx)dx$$

Ahora $$\displaystyle \int e^{-ax}\cdot \sin bx = -\frac{e^{-ax}}{a^2+b^2}\left(a\cdot \sin (bx)+b\cdot \cos (bx)\right)$$

(Arriba hemos utilizado la integración por partes)

Así que $$\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-ax}\cdot \sin bx = -\frac{b}{a^2+b^2}$$

Así que obtenemos $\displaystyle \frac{dI(a,b)}{da} = \frac{b}{a^2+b^2}\Rightarrow \displaystyle \int \frac{dI(a,b)}{da}da = \int\frac{b}{a^2+b^2}da$

$\underline{\bf{Another\; way::}}$ Dejemos que $$\displaystyle I = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ax}\cdot \sin (bx)}{x}dx = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{b}e^{-ax}\cdot \cos(yx)dydx$$

Así que escribimos $$\displaystyle I= \int_{0}^{b}\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\cdot \cos(yx)dxdy = \int_{0}^{b}\frac{a}{y^2+a^2}dy = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$$

Answer 3

Pista: la integral es la definición de la transformación de Laplace de sin(bx) / x