Probando una función en particular es inyectiva

Question

Me estoy preparando para un examen y estoy teniendo problemas con la prueba siguiente. Que $f$ ser una función, $f : N \to N$, $f(x) = [x,x+2014]$, donde $[a,b]$ es el menor múltiplo común entre $a$y $b$.

a) mostrar que $f$ es inyectiva

b) demuestra que N - f (n) es infinito

He tratado de encontrar una función $g$ que $g \circ f$ es inyectiva, pero sin éxito.

Answer 1

Desde $[a,b]=\frac{ab}{\gcd(a,b)}$ $2014=2\cdot 19\cdot 53$ es squarefree , sabemos que $$f(x)=\frac{x(x+2014)}{\gcd(x,x+2014)}=\frac{x(x+2014)}{\gcd(x,2014)}.$$ Desde $\gcd(x,2014)$ es squarefree, en la plaza se divide el numerador, es decir, $\gcd(x,2014)$ divide $f(x)$. De hecho, cualquier primer dividiendo $f(x)$ $2014$ va al menos dos veces en el numerador y en el denominador, por lo que llegamos a la conclusión de $\gcd(x,2014)=\gcd(f(x),2014)$ y, finalmente, obtener $$x(x+2014)=\gcd(x,f(x))f(x)$$ En otras palabras, la función de $g(x)= \gcd(x,2014)x$ nos da la función inyectiva $g\circ f\colon x\mapsto x(x+2014)$, mostrando que el $f$ es inyectiva.

Desde $\frac x{f(x)}=\frac{\gcd(x,2014)}{x+2014}$ y el numerador supone sólo un número finito de valores, mientras que el denominador se supone infinitamente muchos valores, $\frac x{f(x)}$ supone infinitamente muchos valores diferentes.